سری هندسی

در ریاضیات، سری هندسی به مجموع (سری) یک تصاعد هندسی گفته می‌شود و به صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\,}$

در این سری، a را جمله اول و r را قدر نسبت سری می‌نامند.

برای نمونه مجموع زیر یک سری هندسی با قدر نسبت ۱/۲ است.

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

ویژگی‌ها

در سری هندسی اگر ${\displaystyle r\;<1}$ باشد این سری همگرا خواهد بود. در غیر این صورت این سری واگرا است.

مجموع

مجموع یک سری هندسی همگرا (${\displaystyle r<1}$) از رابطه زیر به دست می‌آید:

${\displaystyle S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.}$

اثبات

• موقعی که ${\displaystyle |r|\;=\ 1}$ سری تبدیل می‌شود به:

${\displaystyle a+a+a+a+....}$

مجموع این سری می‌شود:

${\displaystyle S_{n}=(n+1)a}$

و

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }(n+1)a=\pm \infty }$

(علامت بستگی به منفی یا مثبت بودن ${\displaystyle a}$ دارد).

این واگرائی سری را نشان می‌دهد.

اکنون اگر ${\displaystyle r\;=\ -1}$ سری تبدیل می‌شود به:

${\displaystyle a-a+a-a+....}$

بنابراین دنباله مجموع آن به شکل زیر در می‌آید:

${\displaystyle a,0,a,0,a,...}$

که واگرا می‌باشد.

• حالا ملاحظه کنید موقعی که قدر نسبت سری ${\displaystyle |r|\;\neq \ 1}$.

مجموع این سری می‌شود:

(١) ${\displaystyle S_{n}=a+ar+ar^{2}+...+ar^{n}}$

هر دو طرف معادله را با ${\displaystyle r}$ ضرب می‌کنیم:

(٢) ${\displaystyle rS_{n}=ar+ar^{2}+...+ar^{n}+ar^{n+1}}$

(٢) را از (١) کم می‌کنیم:

(٣) ${\displaystyle S_{n}-rS_{n}=a-ar^{n+1}}$

یا:

${\displaystyle (1-r)S_{n}\;=\;a-ar^{n+1}}$

از آنجائی که در وضعیت مورد نظر ${\displaystyle |r|\;\neq \ 1}$، ما می‌توانیم آن را به شکل زیر بنویسیم:

${\displaystyle S_{n}\;=\;{\frac {a-ar^{n+1}}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}(1-r^{n+1})}$

اگر ${\displaystyle r<1}$ پس ${\displaystyle lim_{n\to \infty }r^{n+1}=0}$ و نتیجه می‌گیریم که سری همگرا است.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}\;=\;{\frac {a}{1-r}}.}$

مثال

یک سری با قدر نسبت ${\displaystyle r={\frac {1}{2}}}$ را در نظر بگیرید:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{8}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,\cdots }$

از آنجا که قدر نسبت کوچکتر از یک است این سری همگرا است. همگرایی این سری نیز به سمت 1 است.

جستارهای وابسته

• سری
• تصاعد هندسی