نمادگذاری‌های مشتق

در حساب دیفرانسیل تنها یک نوع نمادگذاری واحد برای مشتق وجود ندارد و نمادگذاری‌های مختلفی توسط ریاضی‌دان‌ها استفاده شده‌است. در هر زمینه‌ای خاص٬ برخی نمادها مفیدترند.

نمادگذاری لایب‌نیتز

dy

dx

d²y

dx²

معمول‌ترین نمادگذاری استفاده‌شده مربوط به لایب‌نیتز است.در این نمادگذاری مشتق ${\displaystyle y}$ نسبت به${\displaystyle x}$ می‌شود: ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$

و مشتق‌های مرتبه‌های بالاتر چنین نمایش داده می‌شوند:

${\displaystyle {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}{\bigl (}f(x){\bigr )}}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}{\bigl (}f(x){\bigr )}}$

نمادگذاری لاگرانژ

یکی دیگر از نمادگذاری های پرکاربرد ٬توسط ژوزف لویی لاگرانژ ابداع شده‌است.سه مرتبه‌ی اول مشتق چنین اند: ${\displaystyle f'\;}$ ٬${\displaystyle f''\;}$ ٬ ${\displaystyle f'''\;}$

و مشتق مرتبه ${\displaystyle n}$ نیز به صورت f ⁽ⁿ⁾ نشان داده می‌شود.

نمادگذاری اویلر

در نمادگذاری لئونارد اویلر مشتق به شکل یک عملگر دیفرانسیلی به شکل ${\displaystyle D}$ که قبل از تابع می‌آید نمایش می‌یابد:

مشتق اول: ${\displaystyle Df\;}$

مشتق دوم: ${\displaystyle D^{2}f\;}$

مشتق nام: ${\displaystyle D^{n}f\;}$

معمولاً متغیری که نسبت به آن مشتق گرفته‌می‌شود را هم این‌طور نشان می‌دهند: ${\displaystyle D_{x}^{n}y\;}$

نمادگذاری نیوتون

ẋ ẍ

در نمادگذاری نیوتن ٬ مشتق با قرار دادن نقطه بالای تابع مورد نظر نمایش می‌یابد.این نوع نمایش مشتق٬ بیشتر برای مشتق زمانی و حداکثر تا مرتبه‌ی دوم کاربرد دارد:

${\displaystyle {\dot {y}}={\frac {dy}{dt}}}$ و ${\displaystyle {\ddot {y}}={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}}$

نمادگذاری در حساب برداری

در حساب برداری ٬ابتدا یک عملگر دیفرانسیلی با نام عملگر دل تعریف می‌کنیم:

${\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)}$

حال گرادیان در دستگاه دکارتی چنین تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathrm {grad\,} \,\varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)}$ ,

${\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\varphi }$ ,

${\displaystyle =\nabla \varphi }$ .

دیورژانس روی یک میدان برداری عمل می‌کند و به این شکل‌ها نمایش داده‌می‌شود:

${\displaystyle \mathrm {div\,} \mathbf {A} ={\partial A_{x} \over \partial x}+{\partial A_{y} \over \partial y}+{\partial A_{z} \over \partial z}}$ ,

${\displaystyle =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot \mathbf {A} }$,

${\displaystyle =\nabla \cdot \mathbf {A} }$ .

عملگر لاپلاسین : ${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$ عملگر لاپلاسین خوانده می‌شود:

${\displaystyle \mathrm {div} \,\mathrm {grad} \,\varphi \,=\nabla \cdot (\nabla \varphi )}$

${\displaystyle =(\nabla \cdot \nabla )\varphi =\nabla ^{2}\varphi =\Delta \varphi }$ ,

و عملگر کرل یا تاو٬ ${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} \,}$ یا ${\displaystyle \mathrm {rot} \,\mathbf {A} \,}$ که روی میدان برداری A عمل می‌کند به این صورت‌ها قابل نمایش است:

${\displaystyle \mathrm {curl} \,\mathbf {A} =\left({\partial A_{z} \over {\partial y}}-{\partial A_{y} \over {\partial z}},{\partial A_{x} \over {\partial z}}-{\partial A_{z} \over {\partial x}},{\partial A_{y} \over {\partial x}}-{\partial A_{x} \over {\partial y}}\right)}$

دیگر نمادگذاری‌ها

برخی روش‌های دیگر برای نمایش مشتق ٬ در حساب چندمتغیره یا آنالیز تانسوری استفاده می‌شود.برای مثال:

${\displaystyle f_{x}={\frac {df}{dx}}}$

${\displaystyle f_{xx}={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}.}$

و

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f=\partial ^{x}f,}$

البته دو نماد آخر تنها در فضای اقلیدسی یکسانند و روی خمینه ها یکی نیستند.

پیوند به بیرون

• Earliest Uses of Symbols of Calculus, maintained by Jeff Miller.

منابع

• Mathematical Analysis I & II,V.A Zorich