روش پوسته

روش پوسته (به انگلیسی: shell method) یا (به انگلیسی: Shell integration) روشی برای محاسبهٔ حجم جسم حاصل از دوران است. دراین روش در طول محوری عمود بر محور دوران انتگرال‌گیری می‌شود؛ این روش مقابل روش دیسک که در آن در طول محور موازی با محور دوران انتگرال گرفته می‌شود، است.

حجم با مجموعه‌ای از استواته‌های توخالی تخمین زده می‌شود. هرچه دیوارهٔ استوانه‌ای نازک‌تر باشد، حجم تقریب زده شده بهتر است. حد این تقریب همان انتگرال پوسته‌ای است.

بخشی از سری مقالات
حسابان
قضیه اساسی قاعده انتگرال گیری لایبنیز حد توابع پیوستگی قضیه مقدار میانگین قضیه رول
دیفرانسیل تعاریف مشتق (تعمیم‌ها) دیفرانسیل بی‌نهایت‌کوچک‌ها از یک تابع کلی مفاهیم نمادگذاری دیفرانسیل گیری مشتق دوم دیفرانسیل گیری ضمنی دیفرانسیل گیری لگاریتمی نرخ های مرتبط قضیه تیلور قواعد و اتحادها جمع ضرب زنجیره توان خارج قسمت قاعده هوپیتال معکوس لایبنیز عمومی فرمول فا دی برونو
انتگرال لیست انتگرال‌ها تبدیل انتگرالی تعاریف پادمشتق انتگرال (نامعین) انتگرال ریمانی انتگرال لبگ انتگرال کانتور انتگرال توابع معکوس انتگرال گیری توسط جزء به جزء دیسک ها پوسته‌های سیلندری تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر) فرمول اویلر کسرهای جزئی تغییر ترتیب فرمول کاهش دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
سری هندسی (حسابی-هندسی) هارمونیک متناوب توانی دوجمله‌ای تیلور آزمون‌های همگرایی حد جمعوند (آزمون جمله) نسبت ریشه انتگرال آزمون مقایسه مقایسه حدی سری‌های متناوب چگالی کوشی دیریکله آبل
بردار گرادیان دیورژانس کرل لاپلاس مشتق جهتی اتحادها قضایا گرادیان گرین استوکس دیورژانس استوکس تعمیم یافته
چندمتغیره فرمالیسم‌ها ماتریس تنسور خارجی هندسی تعاریف مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ژاکوبی هسین
تخصصی کسری مالیاوین تصادفی تغییرات
متفرقه پیش-حسابان تاریخچه واژه‌نامه فهرست موضوعا

تعریف

جسمی سه بعدی که با دوران سطح مقطعی در صفحهٔ xy حول محور y حاصل شده‌است را در نظر بگیرید. فرض کنید سطح مقطع با نمودار تابع مثبتی y بر بازهٔ [a, b] تعریف شده باشد. آنگاه فرمول محاسبهٔ حجم جسم برابر خواهد بود با:

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx}$

اگر به جای دوران حول محور y حول محور x باشد آنگاه فرمول به صورت زیر خواهد بود:

${\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}yf(y)\,dy}$

اگر تابع دور خط x = h دوران یابد آنگاه فرمول برابر می‌شود با:[1]

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(x-h)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ h\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(h-x)f(x)\,dx,&{\text{if}}\ a<b\leq h,\end{cases}}}$

و اگر حول محور y = k دوران یابد:

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(y-k)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ k\leq a<b\\\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}(k-y)f(y)\,dy,&{\text{if}}\ a<b\leq k.\end{cases}}}$

این فرمول با محاسبهٔ انتگرال دوگانه در مختصات قطبی حاصل می‌شود.

نمونه

جسم زیر که سطح مقطع آن بر بازهٔ [۱،۲] تعریف شده‌است را درنظر بگیرید:

${\displaystyle y=(x-1)^{2}(x-2)^{2}}$

سطح مقطع

حجم سه‌بعدی

با استفاده از روش پوسته فرمول زیر را داریم:

${\displaystyle 2\pi \int _{1}^{2}x((x-1)^{2}(x-2)^{2})\,dx}$

با گسترش چندجمله‌ای بالا حل انتگرال بسیار ساده می‌شود. با محاسبهٔ انتگرال، حجم جسم برابر با ${\displaystyle \pi }$10 واحد مربع می‌شود.

جستارهای وابسته

• انتگرال دیسک
• جسم حاصل از دوران

پانویس

1. Heckman, Dave (2014). "Volume – Shell Method" (PDF). Retrieved 2016-09-28.

منابع

• Weisstein, Eric W. "Method of Shells". MathWorld.
• Frank Ayres, Elliott Mendelson. Schaum's Outlines: Calculus. McGraw-Hill Professional 2008, شابک ‎۹۷۸−۰−۰۷−۱۵۰۸۶۱−۲ . pp. 244–248 (online copy, p. ۲۴۴, در گوگل بوکس)
• "The Shell Method" at Avidemia.com