جانشینی مثلثاتی

جانشینی مثلثاتی(به انگلیسی: Trigonometric substitution) در ریاضیات و در محاسبه انتگرال توابع به منظور ساده‌تر کردن توابع به کار می‌رود.مثلاً برای تبدیل عبارات رادیکالی و نمایی می‌توان از این تبدیل‌ها استفاده کرد[1][2].

• اگر انتگرال شامل عبارت a² − x² باشد:

${\displaystyle x=a\sin \theta \,}$

بخشی از سری مقالات
حسابان
قضیه اساسی قاعده انتگرال گیری لایبنیز حد توابع پیوستگی قضیه مقدار میانگین قضیه رول
دیفرانسیل تعاریف مشتق (تعمیم‌ها) دیفرانسیل بی‌نهایت‌کوچک‌ها از یک تابع کلی مفاهیم نمادگذاری دیفرانسیل گیری مشتق دوم دیفرانسیل گیری ضمنی دیفرانسیل گیری لگاریتمی نرخ های مرتبط قضیه تیلور قواعد و اتحادها جمع ضرب زنجیره توان خارج قسمت قاعده هوپیتال معکوس لایبنیز عمومی فرمول فا دی برونو
انتگرال لیست انتگرال‌ها تبدیل انتگرالی تعاریف پادمشتق انتگرال (نامعین) انتگرال ریمانی انتگرال لبگ انتگرال کانتور انتگرال توابع معکوس انتگرال گیری توسط جزء به جزء دیسک ها پوسته‌های سیلندری تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر) فرمول اویلر کسرهای جزئی تغییر ترتیب فرمول کاهش دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
سری هندسی (حسابی-هندسی) هارمونیک متناوب توانی دوجمله‌ای تیلور آزمون‌های همگرایی حد جمعوند (آزمون جمله) نسبت ریشه انتگرال آزمون مقایسه مقایسه حدی سری‌های متناوب چگالی کوشی دیریکله آبل
بردار گرادیان دیورژانس کرل لاپلاس مشتق جهتی اتحادها قضایا گرادیان گرین استوکس دیورژانس استوکس تعمیم یافته
چندمتغیره فرمالیسم‌ها ماتریس تنسور خارجی هندسی تعاریف مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ژاکوبی هسین
تخصصی کسری مالیاوین تصادفی تغییرات
متفرقه پیش-حسابان تاریخچه واژه‌نامه فهرست موضوعا

مثلثات
تاریخ کاربرد توابع (توابع معکوس) مثلثات تعمیم‌یافته مطالعه بیشتر
منابع
اتحادها مقدارهای دقیق جدول‌ها دایره واحد
قوانین و قضایا
قانون سینوس‌ها قانون کسینوس‌ها قانون تانژانت‌ها قانون کتانژانت‌ها قضیه فیثاغورس
حساب دیفرانسیل و انتگرال
جانشینی مثلثاتی انتگرال توابع (انتگرال توابع وارون) مشتق توابع

و از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

${\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta .\,}$

• اگر انتگرال شامل عبارت a² + x², باشد:

${\displaystyle x=a\tan \theta \,}$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

${\displaystyle 1+\tan ^{2}\theta =\sec ^{2}\theta .\,}$

• گر انتگرال شامل عبارت x² − a², باشد:

${\displaystyle x=a\sec \theta \,}$

از اتحاد مثلثاتی زیر استفاده می کنیم:

${\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta .\,}$

چند نمونه

انتگرال‌های شامل g a² − x² در انتگرال زیر:

${\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}$

می توان از روابط مثلثاتی زیر استفاده کرد:

${\displaystyle x=a\sin(\theta ),\quad dx=a\cos(\theta )\,d\theta ,\quad \theta =\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}(\theta )}}}=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}(1-\sin ^{2}(\theta ))}}}\\[8pt]&=\int {\frac {a\cos(\theta )\,d\theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}(\theta )}}}=\int d\theta =\theta +C=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C\end{aligned}}}$

باید توجه داشت که در نمونه فوق باید همواره a> 0

نکته دیگر تغییر حدود انتگرال برای انتگرال‌های معین است.مثلاً اگر x از 0 تا a/2 تغییر کند،sin(θ) از 0 تا 1/2 تغییر می‌کند ،در نتیجه θ از 0 تا π/6 تغییر می‌کند:

${\displaystyle \int _{0}^{a/2}{\frac {dx}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\pi /6}d\theta ={\frac {\pi }{6}}.}$

منابع

1. Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-495-01166-5.
2. Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-321-58876-2.

Wikiversity has learning materials about Trigonometric Substitutions

در ویکی‌کتاب کتابی با عنوان: Calculus/Integration techniques/Trigonometric Substitution وجود دارد.