شکل نامعلوم

در حساب دیفرانسیل و دیگر شاخه‌های آنالیز ریاضی، محدودیت‌هایی که شامل ترکیب جبری توابع در یک متغیر مستقل است، اغلب با جایگزین کردن این توابع با حد ریاضی به اندازه کافی اطلاعات کافی برای تعیین حد اصلی نمی‌دهد، بلکه گفته می‌شود که یک شکل نامعلوم یا شکل بدون تعریف (انگلیسی: Indeterminate form‎) در نظر گرفته می‌شود. این واژه در اصل توسط مویگنو دانشجوی لویی کوشی در اواسط قرن ۱۹ معرفی شد و به‌طور معمول در ادبیات در نظر گرفته می‌شود:

مواردی که در مقالات به عنوان شکل نامعین تعریف می‌شوند:

${\displaystyle {\frac {0}{0}},~{\frac {\infty }{\infty }},~0\times \infty ,~1^{\infty },~\infty -\infty ,~0^{0}{\text{ و }}\infty ^{0}.}$

فهرست شکل‌های نامعلوم

در زیر پرکاربردترین موارد شکل نامعلوم برای اعمال قاعده هوپیتال آمده‌است:

شکل‌های نامعلوم	وضعیت‌ها	میل به 0/0	میل به ∞/∞
0/0	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	—	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$
∞/∞	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)}{1/f(x)}}\!}$	—
0 × ∞	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)g(x)=\lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/f(x)}}\!}$
∞ − ∞	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim _{x\to c}{\frac {1/g(x)-1/f(x)}{1/(f(x)g(x))}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}(f(x)-g(x))=\ln \lim _{x\to c}{\frac {e^{f(x)}}{e^{g(x)}}}\!}$
0^0	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=0^{+},\lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$
1^∞	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=1,\ \lim _{x\to c}g(x)=\infty \!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$
∞^0	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\infty ,\ \lim _{x\to c}g(x)=0\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {g(x)}{1/\ln f(x)}}\!}$	${\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)^{g(x)}=\exp \lim _{x\to c}{\frac {\ln f(x)}{1/g(x)}}\!}$

جستارهای وابسته

• بخش بر صفر
• قاعده هوپیتال

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Indeterminate form». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۴ نوامبر ۲۰۱۸.