گرادیان

در حسابان بردارها گرادیان (به فرانسوی: Gradient) یک میدان نرده‌ای، میدانی برداری است که مؤلفه‌های آن نرخ تغییر میدان نخستین را در جهت‌های مختلف نشان می‌دهد. جهت خود میدان برداری گرادیان جهت بیشینهٔ تغییرات است.

بخشی از سری مقالات
حسابان
قضیه اساسی قاعده انتگرال گیری لایبنیز حد توابع پیوستگی قضیه مقدار میانگین قضیه رول
دیفرانسیل تعاریف مشتق (تعمیم‌ها) دیفرانسیل بی‌نهایت‌کوچک‌ها از یک تابع کلی مفاهیم نمادگذاری دیفرانسیل گیری مشتق دوم دیفرانسیل گیری ضمنی دیفرانسیل گیری لگاریتمی نرخ های مرتبط قضیه تیلور قواعد و اتحادها جمع ضرب زنجیره توان خارج قسمت قاعده هوپیتال معکوس لایبنیز عمومی فرمول فا دی برونو
انتگرال لیست انتگرال‌ها تبدیل انتگرالی تعاریف پادمشتق انتگرال (نامعین) انتگرال ریمانی انتگرال لبگ انتگرال کانتور انتگرال توابع معکوس انتگرال گیری توسط جزء به جزء دیسک ها پوسته‌های سیلندری تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر) فرمول اویلر کسرهای جزئی تغییر ترتیب فرمول کاهش دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
سری هندسی (حسابی-هندسی) هارمونیک متناوب توانی دوجمله‌ای تیلور آزمون‌های همگرایی حد جمعوند (آزمون جمله) نسبت ریشه انتگرال آزمون مقایسه مقایسه حدی سری‌های متناوب چگالی کوشی دیریکله آبل
بردار گرادیان دیورژانس کرل لاپلاس مشتق جهتی اتحادها قضایا گرادیان گرین استوکس دیورژانس استوکس تعمیم یافته
چندمتغیره فرمالیسم‌ها ماتریس تنسور خارجی هندسی تعاریف مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ژاکوبی هسین
تخصصی کسری مالیاوین تصادفی تغییرات
متفرقه پیش-حسابان تاریخچه واژه‌نامه فهرست موضوعا

به تعبیر دیگر برداری که اندازه و جهت حداکثر نرخ فضائی تغییر یک کمیت عددی را نمایش می‌دهد، گرادیان آن کمیت عددی تعریف می کنیم.

${\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}$

در حالت خاص برای اسکالر ‎${\displaystyle f(x,y,z)}$‎، گرادیان f در دستگاه کارتزین به صورت زیر نوشته می‌شود:

${\displaystyle {\mbox{grad}}\,f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} =\nabla f}$

تعبیر فیزیکی

${\displaystyle \nabla \phi }$ برداری است در جهت بیشینه آهنگ تغییر فضایی ${\displaystyle \phi }$ و همواره بر سطح ${\displaystyle \phi =cte}$ عمود است. مثلاً گرادیان سرعت برابر نیروی محرکه است.

در دستگاه مختصات مختلف

در دستگاه مختصات دکارتی (کارتزین) گرادیان برابر است با:

${\displaystyle \nabla f(x,y,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

و در دستگاه مختصات استوانه‌ای:

${\displaystyle \nabla f(\rho ,\theta ,z)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial \rho }},{{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}}$

و در دستگاه مختصات کروی عبارت است از:

${\displaystyle \nabla f(r,\theta ,\phi )={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial r}},{{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}},{{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}}\end{pmatrix}}}$

برخی خواص

اگر ${\displaystyle f}$ و ${\displaystyle g}$ دو اسکالر باشند، آنگاه گرادیان ${\displaystyle fg}$ برابر است با:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

و اگر ${\displaystyle {\vec {u}}}$ و ${\displaystyle {\vec {v}}}$ دو تابع برداری باشند، گرادیان ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$

${\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}$

مثال

به عنوان مثال :

گرادیان ${\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}$ برابر است با:

${\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}}$

جستارهای وابسته

• عملگر دیفرانسیلی (دِل)
• دیورژانس
• کرل
• لاپلاسین
• تقویت گرادیان

منابع

• جورج براون آرفکن، روشهای ریاضی در فیزیک، ترجمهٔ اعظم پورقاضی، مرکز نشر دانشگاهی، شابک &#۸۲۰۶;۹۶۴-۰۱-۰۹۱۴-۲ مقدار |شابک= را بررسی کنید: invalid character (کمک)