سری هارمونیک

سری هارمونیک (به انگلیسی: Harmonic Series) نوعی سری ریاضی خاص است. سری هارمونیک دنباله‌ای است که اعضای آن، جمع ${\displaystyle n}$ عضو اول (مجموع‌های جزئی) دنبالهٔ هارمونیک هستند.

محاسبه

${\displaystyle n}$امین مجموع جزئی سری هارمونیک، به ${\displaystyle n}$امین عدد هارمونیک معروف است:

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

مورد بالایی نوع خاصی از سری هارمونیک (${\displaystyle 1/k^{a}}$) است، در اینجا ${\displaystyle a=1}$ است.

مقدار مجموع‌های جزئی

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}}&=&1{,}833\dots \\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&=&2{,}083\dots \end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&=&2{,}283\dots \\\\H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}}&=&2{,}592\dots \\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&=&2{,}717\dots \end{matrix}}}$

منابع

• جورج توماس، راس فینی، حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی ۱ (جلد ۲)، مرکز نشر دانشگاهی، ص. ۵۷۳-۵۹۰