تصاعد حسابی

در ریاضیات دنباله حسابی یا تصاعد حسابی (به انگلیسی: arithmetic progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلاً ${\displaystyle d}$ باشد. به عدد ثابت ${\displaystyle d}$ قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.

اگر جمله اول یک دنباله حسابی${\displaystyle a_{1}}$ و قدر نسبت آن ${\displaystyle d}$ باشد آنگاه جملهٔ ${\displaystyle i}$ ام این تصاعد برابر خواهد بود با

${\displaystyle a_{i}=a_{1}+(i-1)d}$.

در حالت کلی رابطهٔ دنباله حسابی برای جمله‌های ${\displaystyle n}$ ام و ${\displaystyle m}$ ام خواهد بود:

${\displaystyle a_{n}=a_{m}+(n-m)d}$

مقدار ${\displaystyle d}$ می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن، دنباله به سمت بینهایت مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن ${\displaystyle d}$، دنباله به سوی منفی بینهایت می‌رود. همچنین تعداد جملات در تصاعد حسابی اینگونه بدست می اید:((اولی-اخری)÷ فاصله) به علاوه یک

تشخیص دنباله حسابی

برای تشخیص دنباله حسابی کافیست دو جمله متوالی از هم کم کنیم.

${\displaystyle a_{4}-a_{3}=a_{3}-a_{2}}$

اگر به مقدار ثابتی رسیدیم، دنباله حسابی است.

مثال: آیا دنباله زیر حسابی است؟

${\displaystyle 10,7.5,5,2.5,...}$

جواب

${\displaystyle a_{4}-a_{3}=2.5-5=-2.5}$

${\displaystyle a_{3}-a_{2}=5-7.5=-2.5}$

دو مقدار بالا ثابت است پس دنباله حسابی است.

واسطه حسابی

اگر ${\displaystyle a,b,c}$ سه جمله متوالی دنباله حسابی باشند. برای پیدا کردن جمله وسط (واسطه حسابی) کافیست از فرمول زیر استفاده کنیم:

${\displaystyle b={\frac {a+c}{2}}}$

مثال: ${\displaystyle x}$ را بیابید؟ (سه جمله زیر جملات متوالی دنباله حسابی هستند)

${\displaystyle 4x-1,x+2,2-x}$

حل:

${\displaystyle x+2={\frac {4x-1+2-x}{2}}}$

${\displaystyle x=3}$

مجموع

مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ تصاعد حسابی عبارت است از:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\cdots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$ ${\displaystyle S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}.}$

با جمع طرفین دو عبارت فوق:

${\displaystyle \ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n}).}$

در نتیجه:

${\displaystyle S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.}$

برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:

${\displaystyle S_{50}={\frac {50}{2}}[2(3)+(49)(5)]=6,275.}$

ضرب

اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی ${\displaystyle a_{1}}$ نام دارد و قدر نسبت تصاعد ${\displaystyle d}$ است؛ آنگاه حاصل ضرب جمله‌های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از:

${\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a_{1}/d\right)}},}$

که در آن ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ نماد افزایش فاکتوریل و ${\displaystyle \Gamma }$ نماد تابع گاما است. (هشدار: فرمول بدست آمده به ازای ${\displaystyle a_{1}/d}$ کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود)

فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب ${\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n}$ است که آن را با ${\displaystyle n!}$ فاکتوریل نمایش می‌دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه ${\displaystyle m}$ باشد:

${\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!}$

در صورتی که ${\displaystyle m}$ و ${\displaystyle n}$ اعداد طبیعی باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از:

${\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}$

برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آن جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با:

${\displaystyle P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}}$

نمونهٔ دیگر

تصاعد حسابی زیر را در نظر بگیرید:

${\displaystyle a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)}$

حاصل ضرب سه جملهٔ اول این تصاعد عبارت است از:

${\displaystyle a(a+d)(a+2d)}$

${\displaystyle =(a^{2}+ad)(a+2d)}$ ${\displaystyle =a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}}$

حال از روی ظاهر عبارت بالا می‌توان پاسخ را برای ${\displaystyle n}$ حدس زد:

${\displaystyle a^{n}+na^{n-1}d^{n-2}+(n-1)a^{n-2}d^{n-1}}$

مطالب گفته شده در بالا، به عنوان اثبات قابل پذیرش نیست و تنها برای درک بهتر بیان شد.

جمع بندی دنباله حسابی

مطالب بالا را در عکس زیر می‌توانید دوره کنید.

جمله عمومی دنباله حسابی

${\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline a_{n}=a+(n-1)d\\\hline \end{array}}}$

واسطه حسابی

${\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline a,\ b,\ c\\b={\frac {a+c}{2}}\\\hline \end{array}}}$

جمله عمومی دنباله حسابی و واسطه حسابی

پانوشت

آموزش دنباله حسابی «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

جستارهای وابسته

• دنباله
• تصاعد هندسی

منابع

• ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی،۱۳۸۰ (کتاب رسمی وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران برای سال دوم آموزش متوسطه در رشته نظری)

• Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–۲۶۰. ISBN 0-387-95419-8.

پیوند به بیرون

• ویدیوهای آموزشی تصاعد حسابی به زبان فارسی https://web.archive.org/web/20120920021841/http://kelasedars.org/?p=1611

• Weisstein, Eric W. "Arithmetic progression". MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Arithmetic series". MathWorld.