بیشینه و کمینه

در آنالیز ریاضی، بیشینه (ماکسیمم) و کمینهٔ (مینیمم) یک تابع (که به طور جمعی به آنها اکسترمم‌های آن تابع گویند) به بزرگترین مقدار و کوچکترین مقدار تابع (در صورت وجود)، یا در یک بازهٔ خاص (اکسترمم نسبی) و یا در کلّ دامنه (اکسترمم مطلق) گفته می‌شود.[1]

بیشینه و کمینه نسبی و مطلق برای cos(3πx)/x, 0.1≤ x ≤1.1

فرما، یکی از اوّلین کسانی بود که روشی کلّی برای پیدا کردن اکسترمم‌ها پیشنهاد کردند.

تعریف

اکسترمم مطلق

نقطهٔ بیشینهٔ مطلق ${\displaystyle a}$ (که با ${\displaystyle max(f(x))}$ نشان می‌دهند) در یک تابع حقیقی ${\displaystyle f}$ با دامنهٔ ${\displaystyle D}$، نقطه‌ای است که ${\displaystyle f(a)\geqslant f(x);\forall x\in D}$.

به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ مطلق ${\displaystyle b}$ (که با ${\displaystyle min(f(x))}$ نشان می‌دهند) در یک تابع حقیقی ${\displaystyle f}$ با دامنهٔ ${\displaystyle D}$، نقطه‌ای است که ${\displaystyle f(b)\leqslant f(x);\forall x\in D}$.

در بیشتر اوقات، صفت «مطلق» برای اکسترمم مطلق ذکر نمی‌شود.

اکسترمم نسبی

نقطهٔ بیشینهٔ نسبی ${\displaystyle a}$ در یک تابع حقیقی ${\displaystyle f}$ با دامنهٔ ${\displaystyle D}$، نقطه‌ای است که ${\displaystyle \exists \varepsilon \in \mathbb {R} _{*}^{+}:(\forall x\in D,d(a,x)<\varepsilon )\quad f(a)\geqslant f(x)}$.

تابع فاصله ${\displaystyle d}$ در فضای متریک برای اعداد حقیقی به صورت ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$ تعریف می‌شود.

به شکل مشابه، نقطهٔ کمینهٔ نسبی ${\displaystyle b}$ در یک تابع حقیقی ${\displaystyle f}$ با دامنهٔ ${\displaystyle D}$، نقطه‌ای است که ${\displaystyle \exists \varepsilon \in \mathbb {R} _{*}^{+}:(\forall x\in D,d(b,x)<\varepsilon )\quad f(b)\leqslant f(x)}$.

اکسترمم اکید

مفهوم اکید را می‌توان برای هر دو اکسترمم مطلق و نسبی تعریف کرد. به عنوان مثال:

نقطهٔ بیشینهٔ مطلق اکید ${\displaystyle a}$ در یک تابع حقیقی ${\displaystyle f}$ با دامنهٔ ${\displaystyle D}$، نقطه‌ای است که ${\displaystyle f(a)>f(x);\forall x\in D,x\neq a}$.

نقطهٔ بیشینهٔ نسبی اکید ${\displaystyle a}$ در یک تابع حقیقی ${\displaystyle f}$ با دامنهٔ ${\displaystyle D}$، نقطه‌ای است که ${\displaystyle \exists \varepsilon \in \mathbb {R} _{*}^{+}:(\forall x\in D,x\neq a,d(a,x)<\varepsilon )\quad f(a)>f(x)}$.

یافتن اکسترمم‌های تابع

یافتن اکسترمم‌ها هدف بهینه‌سازی است.

قضیهٔ مقدار اکسترمم

• اگر تابع ${\displaystyle f}$ در بازهٔ ${\displaystyle [a,b]}$ پیوسته باشد، آن گاه ${\displaystyle f}$ روی ${\displaystyle [a,b]}$ دارای حدّاقل یک مقدار بیشینهٔ مطلق و یک مقدار کمینهٔ مطلق است.

همان طور که از صورت قضیهٔ اکسترمم ملاحظه می‌شود شرط کافی برای وجود اکسترمم مطلق، پیوسته بودن تابع در فاصلهٔ ${\displaystyle [a,b]}$ است؛ ولی با این وجود، این شرط لازم نیست، چون تابعی می‌توان نشان داد که در فاصله‌ای پیوسته نباشد ولی دارای بیشینه و کمینهٔ مطلق باشد. به عبارت دیگر نمی‌توان گفت که چون تابعی در بازه‌ای ناپیوسته است، بیشینه و کمینهٔ مطلق ندارد. اما اگر تابعی در بازهٔ بسته‌ای پیوسته باشد، آن گاه حتماً دارای بیشینه و کمینهٔ مطلق هست.[2]

نقاط بحرانی

یک اکسترمم مطلق در یک بازه (در صورت وجود) یا یکی از اکسترمم‌های نسبی و یا ابتدا و انتهای بازه است.

طبق قضیهٔ فرما، هر اکسترمم نسبی، یک نقطهٔ بحرانی است.

پس با بررسی نقاط بحرانی و ابتدا و انتهای بازه و پیدا کردن بیشترین و کمترینشان می‌توان اکسترمم‌ها را پیدا کرد.

جستارهای وابسته

• مشتق

منابع

1. Thomas' Calculus (14th Edition).
2. حساب دیفرانسیل و انتگرال (جلد اول)، مسعود نیکوکار و بهمن عرب‌زاده، تهران، انتشارات آزاده، ۱۳۸۲، شابک ‎۹۶۴−۸۰۲۰−۴۷−۷

• سیلورمن (۱۳۸۲)، حساب دیفرانسیل و انتگرال، ص. ۲۶۵، شابک ۹۶۴-۳۱۱-۰۰۵-۲

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقی‌مانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ متمم نسبی ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر