نیم-گروه

در ریاضیات نیم-گروه (به انگلیسی: Semigroup) ساختاری جبریست که یک مجموعه مجهز به عمل دوتایی شرکت‌پذیر است.

ساختارهای جبری
شبیه-گروه گروه نیم-گروه / مونوئید رک و کواندل‌ها شبه گروه گروه آبلی ماگما گروه لی نظریه گروه‌ها
شبیه-حلقه حلقه (ریاضیات) رونگ نیم-حلقه نزدیک-حلقه حلقه جابه‌جایی حوزه صحیح میدان (ریاضیات) حلقه تقسیم نظریه حلقه‌ها
شبیه-مشبکه مشبکه (ترتیب) نیم-مشبکه مشبکه متمم‌دار ترتیب کامل جبر هیتینگ جبر بولی نگاشت مشبکه‌ها مشبکه (ترتیب)
شبیه-مدول مدول گروه با عملگرها فضای برداری جبر خطی
شبیه-جبر جبر شرکت‌پذیر غیر-شرکت‌پذیر جبر ترکیبی جبر لی مدرج دو-جبر

خاصیت شرکتپذیری الصاق رشته‌ها

ساختارهای جبری بین ماگماها و گروه‌ها: یک نیم-گروه ماگمایی است که خاصیت شرکت‌پذیری دارد. یک تکوار (مونوئید) نیم-گروهی است که عضو همانی داشته باشد.

عملیات دوتایی یک نیم-گروه اغلب به صورت ضربی: ${\displaystyle x.y}$ یا ${\displaystyle xy}$ نوشته شده که نتیجه اعمال عمل نیم-گروه به زوج مرتب ${\displaystyle (x,y)}$ می باشد. شرکت‌پذیری را برای تمام ${\displaystyle x,y,z}$ درون نیم-گروه به صورت صوری ${\displaystyle (x.y).z=x.(y.z)}$ بیان می کنند.

نیم-گروه‌ها را می توان به عنوان حالت خاصی از ماگماها در نظر گرفت، که در آن عمل دوتایی شرکت پذیر است. یا می توان آن ها را به صورت تعمیمی از گروه ها بدون الزام به وجود عنصر معکوس پذیر در نظر گرفت.[یادداشت 1]

همچون گروه ها و ماگماها، عمل نیم-گروه ها نیز لزوماً جابجایی نیستند، بنابر این ${\displaystyle x.y}$ لزوماً برابر با ${\displaystyle y.x}$ نیست؛ یک مثال شناخته شده از عملیاتی که شرکتپذیر است اما ناجابجایی است، عمل ضرب ماتریسی است. اگر عمل نیم-گروه جابجایی باشد، آنگاه به نیم گروه مورد نظر، نیم-گروه جابجایی گویند.

تعریف

یک نیم-گروه، مجموعه ای چون ${\displaystyle S}$ با عمل دوتایی "." (یعنی تابعی چون ${\displaystyle .:S\times S\leftarrow S}$) است به گونه ای که در خاصیت شرکت‌پذیری صدق کند:

برای تمام ${\displaystyle a,b,c\in S}$، معادله ${\displaystyle (a.b).c=a.(b.c)}$ برقرار است.

به طور خلاصه تر می توان گفت که نیم-گروه یک ماگمای شرکت پذیر است.

یادداشت‌ها

1. اصول موضوعه بستار با تعریف عمل دوتایی روی یک مجموعه به صورت خودکار اعمال می شود. لذا برخی از مؤلفان این الزام را حذف می کنند و سه اصول موضعه گروه و فقط یک اصل (شرکت پذیری) برای نیم گروه را ذکر می کنند.

منابع

منابع عمومی

• Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-851194-6, Zbl 0835.20077.
• Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1961), The Algebraic Theory of Semigroups, 1, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0271-7, Zbl 0111.03403.
• Clifford, A. H.; Preston, G. B. (1967), The Algebraic Theory of Semigroups, 2, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0272-4, Zbl 0178.01203.
• Grillet, Pierre A. (1995), Semigroups: An Introduction to the Structure Theory, Marcel Dekker, ISBN 978-0-8247-9662-4, Zbl 0830.20079.
• Grillet, Pierre A. (2001), Commutative Semigroups, Springer Verlag, ISBN 978-0-7923-7067-3, Zbl 1040.20048.
• Hollings, Christopher (2009) "The early development of the algebraic theory of semigroups", Archive for History of Exact Sciences 63(5): 497–536.
• Hollings, Christopher (2014), Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups, American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-1493-1, Zbl 1317.20001.
• Petrich, Mario (1973), Introduction to Semigroups, Charles E. Merrill, ISBN 978-0-675-09062-9, Zbl 0321.20037.

منابع تخصصی

• Feller, William (1971), An introduction to probability theory and its applications, II (2nd ed.), Wiley, MR 0270403.
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Functional analysis and semi-groups, American Mathematical Society, ISBN 978-0821874646, MR 0423094.
• Suschkewitsch, Anton (1928), "Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit", Mathematische Annalen, 99 (1): 30–50, doi:10.1007/BF01459084, hdl:10338.dmlcz/100078, ISSN 0025-5831, MR 1512437.
• Kantorovitz, Shmuel (2009), Topics in Operator Semigroups, Springer, ISBN 978-0-8176-4932-6, Zbl 1187.47003.
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
• Lawson, M.V. (1998), Inverse semigroups: the theory of partial symmetries, World Scientific, ISBN 978-981-02-3316-7, Zbl 1079.20505
• Lothaire, M. (2011) [2002], Algebraic combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 90, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-18071-9, Zbl 1221.68183