حوزه صحیح

در ریاضیات، بخصوص در جبر مجرد، حوزه صحیح (به انگلیسی: Integral Domain)، حلقه جابجایی ناصفری است که در آن ضرب هر دو عنصر ناصفر، ناصفر شود.[1][2] حوزه های صحیح، تعمیم حلقه اعداد صحیح بوده و بستری طبیعی برای مطالعه تقسیم پذیری را فراهم می آورند. در حوزه صحیح، هر عنصر ناصفر ${\displaystyle a}$ دارای خاصیت حذف است، یعنی اگر ${\displaystyle a\neq 0}$، از برابری ${\displaystyle ab=ac}$ نتیجه می شود ${\displaystyle b=c}$.

ساختارهای جبری
شبیه-گروه گروه نیم-گروه / مونوئید رک و کواندل‌ها شبه گروه گروه آبلی ماگما گروه لی نظریه گروه‌ها
شبیه-حلقه حلقه (ریاضیات) رونگ نیم-حلقه نزدیک-حلقه حلقه جابه‌جایی حوزه صحیح میدان (ریاضیات) حلقه تقسیم نظریه حلقه‌ها
شبیه-مشبکه مشبکه (ترتیب) نیم-مشبکه مشبکه متمم‌دار ترتیب کامل جبر هیتینگ جبر بولی نگاشت مشبکه‌ها مشبکه (ترتیب)
شبیه-مدول مدول گروه با عملگرها فضای برداری جبر خطی
شبیه-جبر جبر شرکت‌پذیر غیر-شرکت‌پذیر جبر ترکیبی جبر لی مدرج دو-جبر

نظریه حلقه‌ها → ساختار جبری نظریه حلقه‌ها
مفاهیم پایه‌ای حلقه‌ها • زیرحلقهها • ایده‌آل (نظریه حلقه‌ها) • حلقه خارج قسمتی • ایده‌آل کسری • حلقه خارج قسمتی کلی • حلقه ضربی • ضرب آزاد جبرهای شرکت پذیر • ضرب تنسوری حلقه‌ها همریختی حلقهها • هسته • خودریختی داخلی • درونریختی فروبنیوس ساختارهای جبری • مدول • جبر شرکت‌پذیر • حلقه مدرج • حلقه پیچشی • رسته حلقه‌ها • عدد صحیح ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • حلقه پایانی ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ ساختارهای مرتبط • میدان (ریاضیات) • میدان محدود • حلقه غیر-شرکت‌پذیر • جبر لی • حلقه جوردن • نیم-حلقه • نیم-میدان
جبر جابجایی حلقه جابه‌جایی • حوزه صحیح • حوزه بسته صحیح • حوزه ب.م.م. • حوزه تجزیه یکتا • حوزه ایده‌آل اصلی • حوزه اقلیدسی • میدان (ریاضیات) • میدان محدود • حلقه ترکیبی • حلقه چندجمله‌ای • سری توانی صوری نظریه جبری اعداد • میدان اعداد جبری • حلقه اعداد صحیح • استقلال جبری • نظریه اعداد متعالی • درجه تعالی نظریه اعداد p-ادیک و دسیمال • حد مستقیم/حد معکوس • حلقه صفر ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • اعداد صحیح به پیمانه ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • p-حلقه پروفر ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • حلقه دایره‌ای در مبنای p ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • اعداد صحیح در مبنای p ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • اعداد گویای p-ادیک ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • اعداد حقیقی در مبنای p ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • اعداد p-ادیک ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • اعداد p-ادیک ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • p-ادیک سولنوید ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ هندسه جبری • واریته آفین
حلقه ناجابجایی حلقه‌های ناجابجایی • حلقه تقسیم • حلقه نیم-ابتدایی • حلقه ساده • جابجاگر هندسه جبری ناجابجایی جبر آزاد جبر کلیفورد • جبر هندسی جبر عملگری

حوزه صحیح تقریباً به صورت جهانی به صورت فوق تعریف می شود، اما تغییرات ظریفی در متون مختلف ممکن است وجود داشته باشد. این مقاله از این قرارداد پیروی می ;ند که حلقه ها یکدارند، یعنی دارای عنصر همانی ضربی هستند که با 1 نشان داده می شود، اما برخی از مؤلفان از این قرارداد پیروی نکرده و حلقه ها را لزوماً یک دار در نظر نمی‌گیرند.[3][4] برخی مواقع حوزه های صحیح ناجابجایی را هم مجاز می شمرند.[5] با این حال، این مقاله قرارداد رایج تر را در نظر گرفته و واژه "حوزه" را برای حالت عمومی تر ناجابجایی ذخیره می کند.

برخی از منابع، به طور خاص سرج لانگ، از عبارت entire ring برای حوزه صحیح استفاده می کند.[6]

برخی از انواع خاص حوزه‌های صحیح در زنجیره شمول زیر دیده می شوند:

رونگ‌ ⊃ حلقه ⊃ حلقه جابه‌جایی ⊃ حوزه صحیح ⊃ حوزه بسته صحیح ⊃ حوزه ب.م.م. ⊃ حوزه تجزیه یکتا ⊃ حوزه ایده‌آل اصلی ⊃ حوزه اقلیدسی ⊃ میدان ⊃ میدان بسته جبری

ارجاعات

1. Bourbaki, p. 116.
2. Dummit and Foote, p. 228.
3. B.L. van der Waerden, Algebra Erster Teil, p. 36, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 1966.
4. I.N. Herstein, Topics in Algebra, p. 88-90, Blaisdell Publishing Company, London 1964.
5. J.C. McConnel and J.C. Robson "Noncommutative Noetherian Rings" (Graduate Studies in Mathematics Vol. 30, AMS)
6. Pages 91–92 of Lang, Serge (1993), Algebra (Third ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Integral Domain». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

منابع

• Adamson, Iain T. (1972). Elementary rings and modules. University Mathematical Texts. Oliver and Boyd. ISBN 0-05-002192-3.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Algebra, Chapters 1–3. Berlin, New York: اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا. ISBN 978-3-540-64243-5.
• Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). Algebra. New York: The Macmillan Co. ISBN 1-56881-068-7. MR 0214415.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). New York: جان وایلی و پسران. ISBN 978-0-471-43334-7.
• Hungerford, Thomas W. (2013). Abstract Algebra: An Introduction (3rd ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-111-56962-4.
• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. 211. Berlin, New York: اشپرینگر ساینس+بیزینس مدیا. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556.
• Sharpe, David (1987). Rings and factorization. انتشارات دانشگاه کمبریج. ISBN 0-521-33718-6.
• Rowen, Louis Halle (1994). Algebra: groups, rings, and fields. A K Peters. ISBN 1-56881-028-8.
• Lanski, Charles (2005). Concepts in abstract algebra. AMS Bookstore. ISBN 0-534-42323-X.
• Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. (2002). An introduction to group rings. Springer. ISBN 1-4020-0238-6.
• B.L. van der Waerden, Algebra, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1966.

پیوند به بیرون

• "where does the term "integral domain" come from?".