گراف کامل

گراف کامل گراف ساده‌ای است که در آن هر رأس به تمامی راس‌های دیگر به وسیلهٔ یک یال متصل است. معمولاً گراف کاملِ ${\displaystyle n}$ راسی را با ${\displaystyle k_{n}}$ نمایش میدهند. آغاز نظریه گراف‌ها معمولاً با کار اویلر بر روی هفت پلِ کونیکسبرگ در سال ۱۷۳۶ گره خورده است.[1] با این حال، تاریخچه گرافهای کامل به رسم‌های رامون یوی در قرن سیزدهم بازمی‌گردد، که رئوس گراف را در گوشه‌های چندضلعی منتظم قرار میداد.[2][3] این رسم‌ها با عنوان گل رز عرفانی نیز شناخته می‌شوند.[4]

خواص

• تعداد یالهای یک گراف کامل ${\displaystyle n}$ راسی ${\displaystyle {\frac {n\times {\bigl (}n-1{\bigr )}}{2}}}$ است.[5]
• هر گراف کاملی گروهک بیشین خود است.[5]
• مکمل یک گراف کامل، گراف تهی است.[5]
• تعداد تطابق‌های کامل یک گراف کامل ${\displaystyle n}$ راسی برابر است با ${\displaystyle (n-1)!!}$. [6]

مثال

شکل پایین شامل گرافهای کامل که دارای یک تا هشت رأس هستند می‌باشد:

${\displaystyle K_{1}:0}$	${\displaystyle K_{2}:1}$	${\displaystyle K_{3}:3}$	${\displaystyle K_{4}:6}$
${\displaystyle K_{5}:10}$	${\displaystyle K_{6}:15}$	${\displaystyle K_{7}:21}$	${\displaystyle K_{8}:28}$

ماتریس مجاورت گراف کامل

تمامی درایه‌های گراف کامل ۱ هستند به جز درایه‌های روی قطر اصلی که صفر هستند چون گراف کامل طوقه وجود ندارد.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&1&\ldots &1\\1&0&1&\ldots &1\\1&1&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &0&1\\1&\ldots &1&1&0\end{bmatrix}}_{n*n}}$

منابع

1. Euler, Leonhard (1736). "Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis". Comment. Acad. Sci. U. Petrop 8, 128–40.
2. Knuth, Donald E. (2013), "Two thousand years of combinatorics", in Wilson, Robin; Watkins, John J., Combinatorics: Ancient and Modern, Oxford University Press, pp. 7–37, ISBN 0191630624.
3. Read, Ronald C.; Wilson, Robin J. (1998), An Atlas of Graphs, Clarendon Press, p. ii, ISBN 9780198532897.
4. Mystic Rose, nrich.maths.org, retrieved 23 January 2012.
5. Rosen, Kenneth (2018-07-09). Discrete Mathematics and Its Applications. ISBN 978-1259676512.
6. Callan, David (2009), A combinatorial survey of identities for the double factorial, arXiv:0906.1317, Bibcode:2009arXiv0906.1317C.

• ریاضیات گسسته و کاربردهای آن (انگلیسی)

Kenneth H, Rosen (1998). "Graphs". Discrete Mathematics and its Applications. SIGS Reference Library. William C Brown Pub; 4th edition. ISBN 0072899050. Retrieved 2007. Check date values in: |بازبینی= (help)