بعد (فضای برداری)

در ریاضیات، بعد یک فضای برداری چون ${\displaystyle V}$ برابر با کاردینالیتی (یعنی اندازه مجموعه) یک پایه از ${\displaystyle V}$ روی میدان زمینه ای اش است.[1][2] برخی مواقع به آن بعد همل (به انگلیسی: Hamel Dimension) (براساس نام گئورگ همل) یا بعد جبری نیز می گویند تا از بقیه انواع بعد در ریاضیات متمایز شود.

برای هر فضای برداری یک پایه وجود دارد،[persian-alpha 1] و تمام پایه های یک فضای برداری کاردینال برابری دارند؛[persian-alpha 2] در نتیجه، بعد یک فضای برداری به صورت منحصر بفردی تعریف می شود. می گوییم ${\displaystyle V}$ متناهی-بعدی است اگر بعد ${\displaystyle V}$ متناهی بوده و بی‌نهایت-بعدی است اگر بعد آن نامتناهی باشد.

بعد فضای برداری ${\displaystyle V}$ روی میدان ${\displaystyle F}$ را به صورت ${\displaystyle dim_{F}(V)}$ یا ${\displaystyle [V:F]}$ نوشته و به صورت "بعد ${\displaystyle V}$ روی ${\displaystyle F}$" خوانده می شود. هرگاه ${\displaystyle F}$ را بتوان از محتوا حدس زد، نمادگذاری اخیر را به صورت ${\displaystyle dim(V)}$ مختصر می کنند.

یادداشت ها

1. if one assumes the axiom of choice
2. see dimension theorem for vector spaces

پانویس

1. Itzkov, Mikhail (2009). Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics. Springer. p. 4. ISBN 978-3-540-93906-1.
2. Axler (2015) p. 44, §2.36

منابع

• Axler, Sheldon (2015). Linear Algebra Done Right. Undergraduate Texts in Mathematics (3rd ed.). Springer. ISBN 978-3-319-11079-0.

پیوندهای بیرونی

• MIT Linear Algebra Lecture on Independence, Basis, and Dimension by Gilbert Strang at MIT OpenCourseWare