عملگر تکانه زاویه‌ای

در مکانیک کوانتومی، عملگر تکانه زاویه‌ای یکی از عملگرهای متعدد مرتبط است که مشابه به تکانه زاویه‌ای کلاسیک است. عملگر تکانه زاویه‌ای نقشی محوری در نظریهفیزیک اتمی و سایر مسائل کوانتومی مرتبط باتقارن چرخشی بازی می‌کند. در هر دوی سامانه‌های کلاسیک و کوانتومی، تکانه زاویه‌ای ( به همراه تکانه خطیو انرژی) یکی از سه ویژگی بنیادی حرکت است.[1]

مکانیک کوانتوم
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ معادله شرودینگر
آشنایی واژه‌نامه · تاریخچه
پیش‌زمینه نشان‌گذاری برا-کت مکانیک کلاسیک هامیلتونی (مکانیک کوانتومی) تداخل امواج Old quantum theory
مفاهیم بنیادی همدوسی ناهمدوسی اصل مکملیت تراز انرژی درهم‌تنیدگی کوانتومی هامیلتونین اصل عدم قطعیت حالت پایه تداخل امواج اندازه‌گیری در مکانیک کوانتومی Nonlocality Observable عملگر (فیزیک) کوانتوم نوسان کوانتومی کف کوانتومی اثر کاسیمیر عدد کوانتومی Quantum noise Quantum realm حالت کوانتومی سیستم کوانتومی دورنوردی کوانتومی کیوبیت اسپین برهم‌نهی کوانتومی Symmetry (Spontaneous) symmetry breaking حالت خلاء انتشار موج تابع موج فروریزش تابع موج دوگانگی موج و ذره موج مادی
آزمایش‌ها افشار Bell's inequality دیویسون گرمر Delayed choice quantum eraser دوشکاف فرانک هرتز ماخ-زندر Elitzur–Vaidman Popper Quantum eraser گربه شرودینگر اشترن-گرلاخ آزمایش انتخاب تاخیردار ویلر
فرمول‌بندی فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتم تصویر هایزنبرگ Interaction مکانیک ماتریسی تصویر شرودینگر فرمول‌بندی انتگرال مسیر فرمول‌بندی فضای فاز
معادلات معادله دیراک معادله کلاین-گوردون معادله پائولی فرمول ریدبرگ معادله شرودینگر
تفسیرها تفسیرهای مکانیک کوانتومی خودآگاهی باعث فروریزش تابع موج Consistent histories تفسیر کپنهاگی مکانیک بوهمی Ensemble تئوری متغیر پنهان دنیاهای چندگانه Objective collapse Pondicherry منطق کوانتومی Relational مکانیک کوانتومی تصادفی Transactional
عناوین پیشرفته آشوب کوانتومی نظریه میدان‌های کوانتومی نظریه اطلاعات کوانتومی نظریه پراکندگی Fractional quantum mechanics
دانشمندان Bell پاتریک بلاکت Bogolyubov دیوید بوهم نیلز بور جان باردین ماکس برن ساتیندرا بوز لویی دوبروی آرتور هالی کامپتون لئون نیل کوپر پل دیراک فریمن دایسون کلینتون دیویسون Duarte پیتر دبای Ehrenfest آلبرت اینشتین هیو اورت Fock انریکو فرمی ریچارد فاینمن گوستاو هرتز ورنر کارل هایزنبرگ داوید هیلبرت Jordan کلاوس فون کلیتسینگ پولیکارپ کوش Kramers جان فون نویمان ولفگانگ پائولی ویلیس اوژن لمب ماکس فون لائو رابرت لافلین هنری موزلی رابرت میلیکان هایک کامرلینگ اونس ماکس پلانک سی وی رامان یوهانس ریدبرگ عبدالسلام اروین شرودینگر هورست لودویگ اشتورمر ویلیام شاکلی جان رابرت شریفر کلیفورد گلنوود شال آرنولد زومرفلد جرج پاجت تامسون دانیل چی تسوئی سین‌ایترو تومونوجا هرمان ویل Ward ویلهلم وین یوجین ویگنر پیتر زیمان Zeilinger

عملگرهای تکانه زاویه‌ای متعددی وجود دارند : تکانه زاویه‌ای کل(J)، تکانه زاویه‌ای مداری(L) و تکانه زاویه‌ای اسپین (که به اختصار به آن اسپین می‌گویند و با S نشان داده‌می‌شود) . تکانه زاویه‌ای کل همیشه پایسته است.

تکانه‌های زاویه‌ای اسپین، مداری و کل

قیف‌های برداری تکانه زاویه‌ای کل J (بنفش)، مداری L (آبی) و اسپین S (سبز). قیف‌ها به دلیل عدم قطعیت کوانتومی بین اندازه‌گیری مولفه‌های تمانه زاویه‌ای.

تعریف کلاسیک تکانه زاویه‌ای ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$ است. این تعریف را می‌توان با در نظر گرفتن تفسیر جدیدی از r به عنوان عملگر مکانکوانتومی و p به عنوان عملگر تکانه، به مکانیک کوانتومی برد. در این‌صورت L یک عملگرخواهد بود که به‌طور خاص، عملگر تکانه زاویه‌ای مداری نامیده می‌شود در واقع، L یک عملگر برداری است، یعنی ${\displaystyle \mathbf {L} =(L_{x},L_{y},L_{z})}$، که L_x, L_y, L_z سه عملگر متفاوت هستند.

اما نوع دیگری از تکانه زاویه‌ای نیز وجود دارد که تکانه زاویه‌ای اسپین خوانده می‌شود و اغلب به اختصار به آن اسپین گفته می‌شود و با علامت عملگر اسپین S نشان داده می‌شود. تقریباً تمامذرات بنیادی اسپین دارند. اسپین اغلب به این صورت تصویر می‌شود که یک ذره واقعاً به دور محور خود می‌چرخد، اما این تنها یک تشبیه است و بر واقعیت منطبق نیست :اسپین یکی از ویژگی‌های ذاتی یک ذره است که به هیچ نوع حرکتی در فضا مرتبط نیست. تمام ذرات بنیادی یک اسپین مشخصه دارند، مثلاً برای الکترون‌ها همیشه اسپین ۱/۲ دارند در حالی که اسپین فوتون‌‌ها همواره ۱ است.

و سرانجام یک تکانه زاویه‌ای کل J هم وجود دارد که تکانه‌های زاویه‌ای مداری و اسپینی را با هم ترکیب می‌کند:

${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$

قانون پایستگی تکانه زاویه‌ای بیان می‌کند که J دریک سامانه بسته یا J در کل جهان پایسته می‌ماند. هرچند که L و S به‌طور کلی پایسته نیستند. مثلاً برهمکنش اسپین-مدار اجازه می‌دهد که با ثابت ماندن J، تکانه زاویه‌ای میان S و L انتقال یابد

عمگر تکانه زاویه‌ای مداری

عملگر تکانه راویه‌ای مداری L به زبان ریاضی توسط ضرب برداری یک عملگر مکان تابع موج (r) و عملگر تکانه (p) تعریف می‌شود:

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$

این شبیه به تعریف تکانه زاویه‌ای در فیزیک کلاسیک است.

در مورد خاص یک تک‌ذره بدون بار الکتریکی و بدون اسپین، عملگر تکانه زاویه‌ای مداری را می‌توان بر پایه مکان به صورت یک معادله برداری نوشت :

${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$

که ∇ عملگر دیفرانسیل , دل است.

روابط جابجایی

روابط جابجایی میان مولفه‌ها

عملگر تکانه زاویه‌ای یک عملگر برداری است، یعنی می‌توان آن را بر حسب مؤلفه‌های برداری اش ${\displaystyle \mathbf {L} =(L_{x},L_{y},L_{z})}$ بیان کرد. رابطه جابجایی زیر میان مؤلفه‌ها برقرار است:[2]

${\displaystyle [L_{x},L_{y}]=i\hbar L_{z},\;\;[L_{y},L_{z}]=i\hbar L_{x},\;\;[L_{z},L_{x}]=i\hbar L_{y},}$

که [ , ] علامت جابجاگر است

${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$

می‌توان آنرا به‌طور کلی به این صورت نشان داد

${\displaystyle [L_{l},L_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n}}$،

که l, m, n اندیس‌های مؤلفه‌ها هستند (1 برای x, 2 برای y, 3 برای z), و ε_lmn نشان‌دهنده نماد لوی‌چیتا است.

عبارت فشرده‌تری به شکل یک معادله برداری نیز امکانپذیر است : [3]

${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$

روابط جابه‌جایی را می‌توان به عنوان نتیجه مستقیم روابط جابجایی متعارف ${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$، اثبات نمود که δ_lm دلتای کرونکر است.

رابطه مشابهی در فیزیک کلاسیک وجود دارد: [4]

${\displaystyle \{L_{i},L_{j}\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}\!}$

که L_n مؤلفه‌ای از عملگر تکانه زاویه‌ای کلاسیک است و ${\displaystyle \{,\}}$ کروشه پواسون است.

روابط جابجایی مشابهی نیز در مورد سایر عملگرهای تکانه زاویه‌ای (اسپین و تکانه زاویه‌ای کل) برقرار است:[5]

${\displaystyle [S_{l},S_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad [J_{l},J_{m}]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}}$.

این روابط جابجایی بدین معنا هستند که L دارای ساختار ریاضی جبر لی است. در این مورد جبر لی (2)SU یا (3)SO، گروه چرخشی در سه بعد است. همین وضعیت در مورد J و S نیز صادق است. این روابط جابجایی در اندازه‌گیری و عدم قطعیت کاربرد دارند.

روابط برداری شامل اندازه بردار

مانند هر بردار دیگری، اندازه عملگر تکانه زاویه‌ای مداری به شکل زیر تعریف می‌شود،

${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}}$ .

L² یک عملگر کوانتومی دیگر است. با مؤلفه‌های L جابه‌جا می‌شود,

${\displaystyle [L^{2},L_{x}]=[L^{2},L_{y}]=[L^{2},L_{z}]=0~.\,}$

یک راه برای اثبات اینکه این عملگرها جابه‌جا می‌شوند این است که از رابطه‌های جابه‌جایی [L_ℓ, L_m] در بخش قبل استفاده کنیم:

روی[نمایش] در سمت راست کلیک کنید تا اثباتی برای رابطه‌های جابه‌جایی [L^2, Lx] = 0, sبا شروع از [Lℓ, Lm] [6]
${\displaystyle [L^{2},L_{x}]=[L_{x}^{2},L_{x}]+[L_{y}^{2},L_{x}]+[L_{z}^{2},L_{x}]}$ ${\displaystyle =L_{y}[L_{y},L_{x}]+[L_{y},L_{x}]L_{y}+L_{z}[L_{z},L_{x}]+[L_{z},L_{x}]L_{z}}$ ${\displaystyle =L_{y}(-i\hbar L_{z})+(-i\hbar L_{z})L_{y}+L_{z}(i\hbar L_{y})+(i\hbar L_{y})L_{z}}$ ${\displaystyle =0}$

از نظر ریاضی، L² ناوردای کاسیمیر از جبر لی (so(3 است که توسط L ایجاد می‌شود.

در موارد کلاسیک، L تکانه زاویه‌ای مداری کلا سامانه ذرات، n بردار واحد در امتداد یکی از محورهای دکارتی است و همچنین شبه‌جابه‌جایی براکت پواسون L را با هر یک از مؤلفه‌های دکارتی‌اش داریم:[7]

${\displaystyle [\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ,\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} ]=[L^{2},\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} ]=0~,}$

که n یکی از یه مؤلفه دکارتی L است

در مکانیک کوانتومی همان روابط جابه‌جایی در مورد عملگرهای تکانه زاویه‌ای دیگر (اسپین و تکانه زاویه‌ای کل) نیز برقرار است،

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}S^{2},S_{i}]&=0,\\{[}J^{2},J_{i}]&=0.\end{aligned}}}$

اصل عدم قطعیت

به‌طور کلی در مکانیک کوانتومی وقتی دو عملگر مشاهده‌پذیر، قابل جابه‌جایی نباشند به آنها مشاهده‌پذیرهای ناسازگار گفته می‌شود. دو مشاهده‌پذیر ناسازگار را نمی‌توان همزمان با هم اندازه گرفت؛ بلکه در عوض آنها از اصل عدم قطعیت پیروی می‌کنند. هرچه یکی از این مشاهده‌پذیرها، دقیق‌تر شناخته‌شود، دیگری با دقت کمتری قابل شناخت خواهد بود. همانطور که در یک اصل عدم قطعیت، مکان و تکانه به هم مرتبط می‌شوند، برای تکانه زاویه‌ای نیز اصل عدم قطعیتی وجود دارد.

اصل عدم قطعیت زیر از معادله رابرتسون-شرودینگر حاصل می‌شود:

${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$

که ${\displaystyle \sigma _{X}}$ انحراف معیار استاندارد در مقادیر اندازه‌گیری‌شده برای X و ${\displaystyle \langle X\rangle }$ مقدار چشم‌داشتی X را نشان می‌دهد. این نابرابری در صورتی جاهای x,y،z عوض شود، یا L با J یا S جایگزین شود، نیز برقرار است.

بنابراین، دو مؤلفه قطری تکانه زاویه‌ای را نمی‌توان همزمان دانست یا اندازه‌گیری نمود مگر در موارد خاص مانند ${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$.

هرچند که می‌توان L² و هریک از مؤلفه‌های L را به‌طور همزمان اندازه‌گیری یا تعیین نمود؛ مثلاً، L² و L_z. این اغلب مفید واقع می‌شود مقادیر آن توسط عدد کوانتومی سمتی وعدد کوانتومی مغناطیسی مشخص می‌شود.

منابع

1. Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0-201-54715-5
2. Aruldhas, G. (2004-02-01). "formula (8.8)". Quantum Mechanics. p. 171. ISBN 978-81-203-1962-2.
3. Shankar, R. (1994). Principles of quantum mechanics (2nd ed.). New York: Kluwer Academic / Plenum. p. 319. ISBN 9780306447907.
4. H. Goldstein, C. P. Poole and J. Safko, Classical Mechanics, 3rd Edition, Addison-Wesley 2002, pp. 388 ff.
5. Littlejohn, Robert (2011). "Lecture notes on rotations in quantum mechanics" (PDF). Physics 221B Spring 2011. Retrieved 13 Jan 2012. External link in |work= (help)
6. Griffiths, David J. (1995). Introduction to Quantum Mechanics. Prentice Hall. p. 146.
7. Goldstein et al, p. 410