فضای برداری نرم‌دار

در ریاضیات، فضای برداری نرم‌دار (به انگلیسی: Normed Vector Space) یا فضای نرم‌دار، فضایی برداری روی اعداد حقیقی یا مختلط است که برای آن نرم تعریف شده باشد.[1] نرم، صوری سازی و تعمیم مفهوم "طول" در جهان واقعی را به فضاهای برداری حقیقی تعمیم می دهد. نرم، تابعی حقیقی-مقدار است که روی فضای برداری عریف شده و اکثراً به صورت ${\displaystyle x\mapsto \|x\|,}$ نمایش داده شده و دارای خواص زیر است:[2]

1. نامنفی است، یعنی برای هر بردار ${\displaystyle x}$ داریم ${\displaystyle \|x\|\geq 0}$.
2. روی بردارهای ناصفر، بزرگتر از صفر است:

   ${\displaystyle \|x\|=0\Longleftrightarrow x=0.}$

3. برای هر بردار ${\displaystyle x}$، و هر اسکالر ${\displaystyle \alpha }$ داریم:

   ${\displaystyle \|\alpha x\|=|\alpha |\|x\|.}$

4. نامساوی مثلثی برقرار است، یعنی برای هر دو بردار ${\displaystyle x,y}$ داریم:

   ${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$

سلسله مراتب فضاهای ریاضیاتی، فضاهای نرم دار در این نمودار شامل فضاهای ضرب داخلی و زیرمجموعه ای از فضاهای متری هستند، که خود فضاهای متری زیرمجموعه فضاهای برداری نرم دار می باشند.

برای هر نرم از طریق رابطه زیر یک متر تعریف می شود:

${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$

که فضای برداری نرم دار را تبدیل به یک فضای متری و یک فضای برداری توپولوژیکی می کند. اگر متر ${\displaystyle d}$ مذکور کامل باشد، به فضای نرم دار مورد نظر، فضای باناخ می گویند.

پانویس

1. Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
2. Rudin 1991, pp. 3-4.

منابع

• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional analysis and control theory: Linear systems, Mathematics and its Applications (East European Series), 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.), Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers, pp. xvi+524, doi:10.1007/978-94-015-7758-8, ISBN 90-277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804
• Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Normed Space». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.

پیوندهای بیرونی

• رسانه‌های مرتبط با Normed spaces در ویکی‌انبار