قضیه بطلمیوس

اگر ${\displaystyle \;ABCD}$ یک چهار ضلعی دلخواه باشد آنگاه داریم ${\displaystyle AB\times CD+BC\times DA\geq AC\times BD}$ و تساوی هنگامی اتفاق می افتد که ${\displaystyle \;ABCD}$ یک چهارضلعی محاطی باشد. توجه: ${\displaystyle \;AC}$ و ${\displaystyle \;BD}$ دو قطر چهارضلعی اند.

هنگامی که چهار ضلعی محاطی باشد، حالت تساوی رخ می دهد

اثبات

نقطه ${\displaystyle \;E}$ طوری انتخاب می کنیم که مثلث ${\displaystyle \;DCE}$ متشابه با ${\displaystyle \;ABC}$ شود. حال چون ${\displaystyle \angle DCE=\angle BCA}$ پس ${\displaystyle \angle LCD=\angle ACE}$ همچنین به دلیل تشابه دو مثلث ${\displaystyle \;ABC}$ و ${\displaystyle \;DCE}$ داریم ${\displaystyle {\frac {BC}{AC}}={\frac {DC}{CE}}}$ دو نتیجه اخیر نشان از تشابه دو مثلث ${\displaystyle \;BCD}$ و ${\displaystyle \;ACE}$ دارد و این خود رابطه ${\displaystyle {\frac {AE}{BD}}={\frac {AC}{BC}}\Rightarrow AE={\frac {AC\times BD}{BC}}}$ را نتیجه می دهد. حال در مثلث ${\displaystyle \;ADE}$ طبق نامساوی مثلثی داریم: ${\displaystyle AD+DE\geq AE}$ به جای ${\displaystyle \;AE}$ مقدار ${\displaystyle {\frac {AC\times BD}{BC}}}$ را قرار داده و دو طرف نامساوی را در ${\displaystyle \;BC}$ ضرب می کنیم. رابطه ${\displaystyle BC\times ad+BC\times DE\geq AC\times BD}$ حاصل می شود. حال تنها کافی است نشان دهیم ${\displaystyle BC\times DE=AB\times DC}$ که این نیز از تشابه دو مثلث ${\displaystyle \;ABC}$ و ${\displaystyle \;DCE}$ به دست می آید.

نتایج

• اگر ${\displaystyle \;ABC}$ یک مثلث متساوی‌الاضلاع باشد و ${\displaystyle \;P}$ نقطه ای دلخواه بیرون از مثلث و درون زاویه ${\displaystyle \;{\hat {A}}}$ آنگاه داریم ${\displaystyle PA\geq PB+PC}$ و هنگامی که ${\displaystyle \;P}$ روی کمان ${\displaystyle \;{BC}}$ از دایره محیطی مثلث باشد، تساوی رخ می دهد

منابع

کتاب هندسه مسطحه، ناتان آلتشیلر کورت، انتشارات فاطمی