اثر ژئودزیکی

اثر ژئودتیکی (به انگلیسی: Geodetic effect) (که با نام‌های حرکت تقدیمی ژئودتیک، حرکت تقدیمی دو سیتر و اثر دوسیتر نیز شناخته می‌شود) اثر خمش فضازمان، آنگونه که در نسبیت عام پیش‌بینی می‌شود بر برداری است که توسط جسمی در حرکت مداری حمل می‌شود. مثلاً این بردار می‌تواند تکانه زاویه ای ژیروسکوپی باشد که سوار بر حسگر گرانش بی به دور زمین می گردد. این اثر نخستین بار توسط ویلم دو سیتر در سال ۱۹۱۶ پیش‌بینی شد که اصلاحاتی نسبیتی برای حرکت سیستم زمین-ماه ارائه داد. کار دوسیتر در سال ۱۹۱۸ توسط جان شوتن و در سال ۱۹۲۰ توسط ادریان فوکر گسترش یافت.[1]

نمایش ازتاثیر ژئودزیکی.

بخشی از سری مقالات در مورد:
نسبیت عام
معادلات میدان اینشتین
آشنایی با نسبیت عام عصر طلایی نسبیت عام ریاضیات نسبیت عام آزمون‌های نسبیت عام
مفاهیم بنیادین اصل نسبیت نظریه نسبیت هموردایی عام معیت نسبیت همزمانی سینماتیک رویداد (نسبیت) چارچوب مرجع دستگاه مرجع لخت جرم (فیزیک) جرم (فیزیک) Rest frame Center-of-momentum frame انحنا ژئودزیک Geon اصل هم‌ارزی جرم در نسبیت عام هم‌ارزی جرم و انرژی اصل ناوردایی جرم نامتغیر Spacetime symmetries نسبیت خاص Doubly special relativity de Sitter invariant special relativity لائورنت نوتال سرعت نور مشتق زمانی زمان ویژه Proper length انقباض طول Action at a distance Principle of locality هندسه ریمانی شرایط انرژی
پدیده‌ها مغناطیس گرانشی مسئله دو جسم در نسبیت عام گرانش میدان گرانشی پتانسیل گرانشی همگرایی گرانشی امواج گرانشی انتقال به سرخ گرانشی انتقال به سرخ انتقال‌به‌آبی اتساع زمان اتساع زمان گرانشی تأخیر شاپیرو پتانسیل گرانشی Gravitational compression رمبش گرانشی کشش چارچوب اثر ژئودزیکی Apparent horizon افق رویداد تکینگی گرانشی تکینگی برهنه سیاه‌چاله سفیدچاله فضازمان پیکان زمان مخروط نوری خط جهانی فضای سه‌بعدی فضای چهاربعدی فضا زمان منیفلد (هندسه) منیفلد دیفرانسیل‌پذیر Riemannian manifold Configuration space فضای حالت (فیزیک) فضای فاز فضای هیلبرت فضای اقلیدسی فضای توپولوژی Topological defect نمودار مینکوفسکی فضای مینکوفسکی Lorentz scalar Closed timelike curve (CTC) کرم‌چاله Ellis wormhole
معادلات فرمالیسم‌ها معادلات گرانش خطی‌شده معادلات میدان اینشتین معادلات فریدمان ژئودزیک‌ها در نسبیت عام Mathisson–Papapetrou–Dixon معادله همیلتون-ژاکوبی-اینشتین Curvature invariant (general relativity) تبدیل لورنتس منیفلد شبه ریمانی Globally hyperbolic manifold Causality conditions ساختار علی فرمالیسم‌ها صورت‌گرایی ای‌دی‌ام صورت‌گرایی بی‌اس‌اس‌ان Newman–Penrose صورت‌گرایی پسانیوتنی پارامتری نظریه پیشرفته نظریه برانس دیکی فرضیه سانسور کیهانی نظریه کالوزا-کلین گرانش کوانتومی ابرگرانش
حل‌ها Relativistic disk متریک شوارتس‌شیلد (interior) متریک رایسنر-نوردشتروم متریک گودل متریک کر نیومن متریک (کر) متریک کازنر Lemaître–Tolman فضای تاب–نات مدل میلن متریک فریدمان-لومتر-رابرتسون-واکر فضازمان موج پی پی غبار ون استاکم Weyl–Lewis–Papapetrou Vacuum solution
قضایا Birkhoff's theorem Geroch's splitting theorem Goldberg–Sachs theorem Lovelock's theorem نظریه بدون مو قضایای تکینگی پنروز-هاوکینگ Positive energy theorem
دانشمندان آلبرت اینشتین هندریک لورنتز دیوید هیلبرت آنری پوانکاره کارل شوارتزشیلد ویلم دو سیتر هانس رایسنر گونار نوردشتروم هرمان ویل آرتور استنلی ادینگتون الکساندر فریدمان ادوارد آرتور میلن فریتس تسوئیکی ژرژ لومتر کورت گودل جان ویلر هاوارد پرسی رابرتسون جیمز ماکسول باردین آرتور جئوفری واکر روی کر سوبرامانیان چاندراسخار یورگن الرس راجر پنروز استیون هاوکینگ امل کومار ریچادوری جوزف تیلور راسل هالس ویلم ژاکوب ون استاکم آبراهام هاسکل تاب ازرا نیومن شینگ تونگ یائو کیپ تورن مشارکت‌کنندگان در نسبیت عام

تفاوت میان حرکت تقدیمی دوسیتر با حرکت تقدیمی لنز-تیرینگ این است که اثر دوسیتر ناشی از وجود جرم مرکزی است در حالیکه اثر لنز-تیرینگ ناشی از چرخش جرم مرکزی است. حرکت تقدیمی کل با ترکیب حرکت تقدیمی دوسیتر و حرکت تقدیمی لنز-تیرینگ به دست می آید.

تایید تجربی

اثر ژئودتیک با دقتی بالاتر از ۰٫۵٪ توسط حسگر گرانش بی، آزمایشی که خمش محور اسپین ژیروسکوپ‌ها را در مداری به دور زمین اندازه می‌گیرد، تأیید شده‌است.[2] اولین نتایج در ۱۴ آوریل ۲۰۰۷ در نشست انجمن فیزیک آمریکا اعلام شد.[3]

فرمول

برای استنتاج حرکت تقدیمی، فرض کنید که سیستم در یک متریک شوارتزشیلد چرخان است. متریک غیرچرخان به صورت زیر است،

${\displaystyle ds^{2}=dt^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\phi '^{2}),}$

که در آن c=G=1

ما یک دستگاه مختصات چرخان با سرعت زاویه ای ${\displaystyle \omega }$ معرفی می کنیم، همانطور که یک ماهواره در یک مدار دایره ای در صفحه θ = π/2 ساکن بماند. از این طریق به رابطه زیر می رسیم

${\displaystyle d\phi =d\phi '-\omega \,dt.}$

در این دستگاه مختصات، ناظری که در موقعیت شعاعی r قرار دارد، برداری را در مکان r می بیند و در حال چرخش با بسامد زاویه ای ω است. اما اگر این ناظر با سرعت متفاوتی بچرخد به دلیل اتساع زمان نسبیتی برداری را در مقدار دیگری از r می بیند. با انتقال متریک شوارتزشیلد به چارچوب چرخان و فرض ثابت بودن ${\displaystyle \theta }$، می یابیم که

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)\left(dt-{\frac {r^{2}\beta \omega }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi \right)^{2}-dr^{2}\left(1-{\frac {2m}{r}}\right)^{-1}-{\frac {r^{2}\beta -2mr\beta }{1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2}}}\,d\phi ^{2}}$

که ${\displaystyle \beta =\sin ^{2}(\theta )}$. برای جسمی که در صفحه θ = π/2 می گردد، β = 1 خواهد بود و خطوط جهانی جسم مختصات فشایی ثابتی در همه زمانها خواهند داشت. اکنون متریک در شکل کانونیک است :

${\displaystyle ds^{2}=e^{2\Phi }\left(dt-w_{i}\,dx^{i}\right)^{2}-k_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}.}$

با این شکل کانونی به راحتی می‌توان نرخ چرخش یک ژیروسکوپ در زمان ویژه را به دست آورد،

${\displaystyle \Omega ={\frac {\sqrt {2}}{4}}e^{\Phi }[k^{ik}k^{jl}(\omega _{i,j}-\omega _{j,i})(\omega _{k,l}-\omega _{l,k})]^{1/2}={\frac {{\sqrt {\beta }}\omega (r-3m)}{r-2m-\beta \omega ^{2}r^{3}}}={\sqrt {\beta }}\omega .}$

آخرین تساوی تنها برای ناظرین در سقوط آزاد درست است که شتابی ندارند و بنابراین ${\displaystyle \Phi ,_{i}=0}$ و در نتیجه

${\displaystyle \Phi ,_{i}={\frac {2m/r^{2}-2r\beta \omega ^{2}}{2(1-2m/r-r^{2}\beta \omega ^{2})}}=0.}$

با حل این معادله برای ω،

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {m}{r^{3}\beta }}.}$

اگر τ زمان ویژه ژیروسکوپ باشد،

${\displaystyle \Delta \tau =\left(1-{\frac {2m}{r}}-r^{2}\beta \omega ^{2}\right)^{1/2}\,dt=\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}\,dt.}$

−2m/r را به عنوان اتساع زمان گرانشی تعبیر می‌کنند در حالیکه −m/r اضافی ناشی از چرخش این چارچوب مرجع است. از آنجا که ${\displaystyle \alpha '=\Omega \Delta \tau }$، حرکت تقدیمی در یک بار گردش نسبت به ستارگان دور با رابطه زیر به دست می آید:

${\displaystyle \alpha =\alpha '+2\pi =-2\pi {\sqrt {\beta }}{\Bigg (}\left(1-{\frac {3m}{r}}\right)^{1/2}-1{\Bigg )}.}$

با استفاده از یک سری تیلور مرتبه اول داریم :

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {3\pi m}{r}}{\sqrt {\beta }}={\frac {3\pi m}{r}}\sin(\theta ).}$

جستارهای وابسته

• کشش چارچوب

پیوند به بیرون

• وبسایت حسگر گرانش بی در NASA و Stanford University
• حرکت تقدیمی در فضای خمیده "اثر ژئودزیکی"

یادداشت ها

1. Jean Eisenstaedt, Anne J. Kox (1988). Studies in the History of General Relativity. Birkhäuser. p. 42. ISBN 0-8176-3479-7.
2. Everitt, C.W.F.; Parkinson, B.W. (2009). "Gravity Probe B Science Results—NASA Final Report" (PDF). Retrieved 2009-05-02.
3. http://einstein.stanford.edu/content/press_releases/SU/pr-aps-041807.pdf

منابع

• ولفگانگ ریدلر (2006) Relativity: special, general, and cosmological (2nd Ed.), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-856731-8