برآوردگر بی‌بایاس حداقل واریانس

در آمار، یک برآوردگر بی‌بایاس حداقل واریانس یا برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت یا برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک برآوردگر بی‌بایاس (میانگین‌نااریب) است که برای تمام مقادیر ممکن پارامتر، نسبت به هر برآوردگر میانگین‌نااریب دیگر واریانس کمتری دارد.

در مسائل آماری معینی، تعیین برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت در صورت وجود مهم است، زیرا روش‌های بدتر از بهینه به‌طور طبیعی کنار گذاشته می‌شوند، و سایر روش‌ها نیز معادل روش انتخاب شده می‌مانند. این موضوع موجب توسعه قابل توجه نظریه آمار مربوط به مسئله تخمین بهینه می‌شود. درحالی که تعیین «بهینه» در اینجا ممکن است آن‌چیزی نباشد که برای هر شرایط کاربردی انتظار داریم.

تعریف

تخمین ${\displaystyle g(\theta )}$ را بر اساس داده‌های ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}}$ از برخی اعضای خانواده چگالی‌های ${\displaystyle p_{\theta },\theta \in \Omega }$ در نظر بگیرید، که در آن ${\displaystyle \Omega }$ پارامتر فضا است. یک برآوردگر میانگین‌نااریب ${\displaystyle \delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ از ${\displaystyle g(\theta )}$ «برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت» است، اگر ${\displaystyle \forall \theta \in \Omega }$.

${\displaystyle \mathrm {var} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))\leq \mathrm {var} ({\tilde {\delta }}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))}$

برای هر برآوردگر میانگین‌نااریب دیگر ${\displaystyle {\tilde {\delta }}.}$ اگر یک برآوردگر میانگین‌نااریب ${\displaystyle g(\theta )}$ وجود داشته باشد، می‌توان اثبات کرد که یک برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت واحد وجود دارد. قضیه راو-بلکول نیز می‌تواند ثابت کند که تعیین «برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت» تنها نیاز به یافتن یک کامل بودن آماره برای خانواه ${\displaystyle p_{\theta },\theta \in \Omega }$ و چگونگی هر برآوردگر میانگین‌نااریب دارد.

بعداً، با استفاده از قضیه لمن-شفه، در یک برآوردگر میانگین‌نااریب که تابعی از یک کامل است، آماره کافی «برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت» می‌باشد.

به‌طور رسمی، فرض‌کنید ${\displaystyle \delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ برای ${\displaystyle g(\theta )}$ میانگین‌نااریب و ${\displaystyle T}$ نیز یک آماره کامل کافی برای خانواده چگالی‌ها باشد. سپس

${\displaystyle \eta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=\mathrm {E} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})|T)\,}$

برای ${\displaystyle g(\theta ).}$ «برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس یک‌نواخت» است.

منابع

• Wikipedia contributors, "Minimum-variance unbiased estimator," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Minimum-variance_unbiased_estimator&oldid=631040384 (accessed December 5, 2014).