تابع چبیشف

در ریاضیات، تابع چبیشف توسط پافنوتی چبیشف تعریف شد. تابع چبیشف به دو شکل مطرح است.

تعریف تابع

تابع اولیهٔ چبیشف را با علامت ϑ یا θ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\ln p}$

برای مثال

${\displaystyle \vartheta (20)=ln(2)+ln(3)+ln(5)+ln(7)+ln(11)+ln(13)+ln(17)+ln(19)=16.08....}$

تابع ثانویه چبیشف را با علامت ψ نشان می‌دهند و به شکل زیر تعریف می‌شود.

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p}$

برای مثال

${\displaystyle \psi (20)=ln(2)+ln(3)+ln(2)+ln(5)+ln(7)+ln(2)+ln(3)+ln(11)+ln(13)+ln(2)+ln(17)+ln(19)=19.26...}$

روابط

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p=\sum _{n\leq x}\Lambda (n)=\sum _{p\leq x}\lfloor \log _{p}x\rfloor \log p,}$

در این‌جا، ${\displaystyle \Lambda (n)}$ تابع منگولد است.

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p\leq x}k\log p}$

${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p=\log \prod _{p\leq x}p=\log(x\#).}$

منابع

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Chebyshev function». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.