رگرسیون چندک

رگرسیون چندک[persian-alpha 1] یکی از روش‌های تحلیل رگرسیون است که در آن بر خلاف رگرسیون خطی که هدف تخمین میانگین متغیر وابسته است یک یا چند چندکِ متغیر وابسته محاسبه می‌شود است.[1] رگرسیون چندک معمولاً با داده‌های پرت بهتر از رگرسیون معمولی کار می‌کند و پیش‌فرضهای کمتری دارد من‌جمله اینکه توزیع شرطی متغیر وابسته ضرورتاً لازم نیست توزیعی طبیعی باشد. همچنین رگرسیون چندک در مسائلی به کار می‌رود که هدف بدست آوردن توزیع مشروط متغیر وابسته باشد نه فقط یک آماره از آن مانند میانگین؛ چه که با استفاده از چندک‌های یک توزیع می‌توان کل توزیع را تقریب زد.[2]

بخشی از مجموعه مباحث دربارهٔ آمار
تحلیل رگرسیون
مدل‌ها
رگرسیون خطی رگرسیون ساده خطی ‏(en)‏ رگرسیون چندجمله‌ای ‏(en)‏ رگرسیون چندمتغیره
مدل خطی تعمیم‌یافته انتخاب گسسته ‏(en)‏ رگرسیون لجستیک لوجیت چندجمله‌ای ‏(en)‏ لوجیت آمیخته ‏(en)‏ مدل پروبیت ‏(en)‏ پروبیت چندجمله‌ای ‏(en)‏ لوجیت مرتب ‏(en)‏ پروبیت مرتب ‏(en)‏ رگرسیون پواسون
مدل چندسطحی ‏(en)‏ مدل اثرهای ثابت ‏(en)‏ مدل اثرهای تصادفی ‏(en)‏ مدل آمیخته ‏(en)‏
رگرسیون غیرخطی ‏(en)‏ رگرسیون غیرپارامتریک ‏(en)‏ رگرسیون نیمه‌پارامتریک ‏(en)‏ رگرسیون باثبات رگرسیون چندک رگرسیون ایزوتونیک ‏(en)‏ رگرسیون مولفه اصلی رگرسیون کمترین زاویه رگرسیون موضعی ‏(en)‏ رگرسیون مقطع ‏(en)‏
مدل خطا در متغیرها ‏(en)‏
تخمین
کمترین مربعات کمترین مربعات خطی ‏(en)‏ کمترین مربعات غیرخطی ‏(en)‏
حداقل مربعات معمولی حداقل مربعات وزن‌دار ‏(en)‏ روش تعمیم‌یافته کمترین مربعات
رگرسیون پاره‌ای کمتری مربعات مجموع کمترین مربعات ‏(en)‏ کمترین مربعات نامنفی ‏(en)‏ تنظیم تیخونوف کمترین مربعات منظم ‏(en)‏
کمترین انحرافات مطلق ‏(en)‏ کمترین مربعات بازوزن‌داده مکرر ‏(en)‏ رگرسیون خطی بیزی رگرسیون چندمتغیره خطی بیزی
پیش‌زمینه
اعتبارسنجی مدل رگرسیون ‏(en)‏ پاسخ میانگین و پیش‌بینی‌شده ‏(en)‏ خطاها و باقی‌مانده‌ها در آمار ‏(en)‏ نیکویی برازش باقی‌مانده استودنت‌شده ‏(en)‏ قضیه گوس-مارکف
درگاه آمار

رابطه ریاضی

اگر ${\displaystyle F_{Y}(y)=P(Y\leq y)}$ تابع توزیع تجمعیِ متغیر ${\displaystyle Y}$ باشد، و ${\displaystyle \tau }$ عددی در ${\displaystyle (0,1)}$ باشد، آنگاه چندک مرتبط با این عدد به این شکل تعریف می‌شود:[1]

${\displaystyle Q_{Y}(\tau )=F_{Y}^{-1}(\tau )=\inf \left\{y:F_{Y}(y)\geq \tau \right\}}$

می‌توان نشان‌داد که:

${\displaystyle Q_{Y}(\tau )={\underset {u}{\min }}\,E(\rho _{\tau }(Y-u))={\underset {u}{\min }}\,\left\{(\tau -1)\int _{-\infty }^{u}(y-u)dF_{Y}(y)+\tau \int _{u}^{\infty }(y-u)dF_{Y}(y)\right\}}$

که در اینجا ${\displaystyle \rho _{\tau }(y)=y(\tau -\mathbb {I} _{(y<0)})}$است. حال اگر تابع توزیع تجمعی را نداشته باشیم و فقط ${\displaystyle n}$ نمونه از توزیع متغیر داشته باشیم آنگاه چندک متغیر را با بهینه‌سازی پایین می‌توان به‌دست‌آورد.[1]

${\displaystyle {\hat {Q}}_{Y}(\tau )={\underset {u\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}\rho _{\tau }\left(y_{i}-u\right)={\underset {u\in \mathbb {R} }{\mbox{arg min}}}\left[(\tau -1)\sum _{y_{i}<u}(y_{i}-u)+\tau \sum _{y_{i}\geq u}(y_{i}-u)\right]}$

حال اگر چندکِ متغیر وابسته را با ترکیبی خطی از متغیرهای مستقل تخمین بزنیم آنگاه هدف مسئله رگرسیون خطی پیدا کردن ضرایبی خواهد بود که داده‌های وابسته را به چندکشان نزدیک کند:

${\displaystyle {\vec {\hat {\beta }}}_{\tau }={\underset {\vec {\beta }}{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}\rho _{\tau }\left(y_{i}-{\vec {\beta }}\,.\,{\vec {x}}_{i}\right)}$

این مسئله بهینه‌سازی با کمک برنامه‌ریزی خطی حل می‌شود. اگر ${\displaystyle \tau }$ با ${\displaystyle 0.5}$ برابر باشد، رگرسیون خطی، میانه را تخمین خواهد زد و تابع هزینه به مجموع قدر مطلق تفاضل پیش‌بینی و داده وابسته تغییر شکل می‌یابد:

${\displaystyle {\vec {\hat {\beta }}}_{0.5}={\underset {\vec {\beta }}{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}\rho _{0.5}\left(y_{i}-{\vec {\beta }}\,.\,{\vec {x}}_{i}\right)={\underset {\vec {\beta }}{\mbox{arg min}}}\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-{\vec {\beta }}\,.\,{\vec {x}}_{i}\right|}$

کاربرد

رگرسیون چندک در علوم بوم‌شناسی کاربرد فراوانی دارد.[3] معمولاً به علت پیچیدگی و تعداد زیاد عوامل تأثیرگذار در یک رویداد طبیعی، توزیع‌های شرطی متغیرهای وابسته اغلب واریانس بالا و غیر همسانی دارند که باعث می‌شود رابطه بین متغیرهای مستقل و میانگین توزیع شرطی ضعیف شود؛ تقریب کل توزیع شرطی با استفاده از تخمین خطی چندک‌های توزیع شرطی حاوی اطلاعات بیشتری برای پژوهشگران این رشته‌است و این تقریب از طریق رگرسیون چندک به دست می‌آید.[3]

جستارهای وابسته

• رگرسیون خطی
• رگرسیون لارس
• رگرسیون لجستیک
• رگرسیون پواسون
• رگرسیون چند متغیره

یادداشت‌ها

1. quantile regression

منابع

1. Koenker, Roger (2005). Quantile Regression. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-60827-5.
2. Koenker, Roger (2005). Quantile Regression. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-60827-5.
3. Cade, Brian S.; Noon, Barry R. (2003). "A gentle introduction to quantile regression for ecologists" (PDF). Frontiers in Ecology and the Environment. 1 (8): 412–420. doi:10.2307/3868138. JSTOR 3868138. Archived (PDF) from the original on 7 January 2019. Retrieved 17 August 2019.