اجتماع (نظریه مجموعه‌ها)

اصل موضوع اجتماع

اگر S مجموعه‌ای از مجموعه‌ها باشد (یعنی S یک رده باشد)، مجموعه‌ای مانند C یافت می‌شود که همه اعضای S زیرمجموعه آن باشند. یعنی برای هر ${\displaystyle A\in S}$ داشته باشیم ${\displaystyle A\subseteq C}$.

اجتماع همه اعضای S که آن را با ${\displaystyle \bigcup S}$ یا ${\displaystyle \bigcup _{A\in S}A}$ نشان می‌دهیم به‌صورت زیر تعریف می‌شود:

${\displaystyle \bigcup S:=\bigcup _{A\in S}A:=\{x\in C:\exists A\in S,x\in A\}}$

مجموعه بالا طبق اصل تصریح وجود دارد و با استفاده از اصل موضوع گسترش می‌توان نشان داد که یکتاست. برای دو مجموعه دلخواه A و B، ${\displaystyle \bigcup \{A,B\}}$ را با ${\displaystyle A\cup B}$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم "A اجتماع B". اجتماع سه مجموعه B، A و C را با ${\displaystyle A\cup B\cup C}$،... و اجتماع n مجموعه ${\displaystyle A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}}$ را با ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}}$ نمایش می‌دهیم. می‌توان نشان داد که

${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}=(A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n-1})\cup A_{n}}$

خواص اجتماع

مهم‌ترین ویژگی ${\displaystyle A\cup B}$ این است که هم A و هم B زیرمجموعه آن هستند. فی‌الواقع ${\displaystyle A\cup B}$ کوچک‌ترین مجموعه‌ایست که این ویژگی را دارد.

اگر اشتراک دو مجموعه A و B را با ${\displaystyle A\cap B}$ نشان دهیم، به ازای هر B، A و C داریم:

${\displaystyle A\cup A=A}$

${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$

${\displaystyle A\cup \phi =\phi \cup A=A}$

${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

جستارهای وابسته

• اشتراک (مجموعه)

منابع

• Enderton, H. B. Elements of Set Theory, 2nd edition, ACADEMIC Press, Inc., 1977.

عملیات دوتایی
عددی	تابعی	مجموعه‌ای	ساختاری
مقدماتی + جمع – تفریق × ضرب ÷ تقسیم ^ توان حسابی div خارج قسمت اقلیدسی mod باقی‌مانده اقلیدسی ∧ بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک ∨ کوچک‌ترین مضرب مشترک ترکیباتی () ضریب دوجمله‌ای P جایگشت C ترکیب	∘ ترکیب ∗ کانولوشن	جبر مجموعه‌ها ∪ اجتماع \ متمم نسبی ∩ اشتراک Δ تفاضل متقارن ترتیب کلی min کمینه max بیشینه توری‌ها ∧ کرانه تحتانی ∨ کرانه فوقانی	مجموعه‌ها × ضرب دکارتی ⊔ اجتماع منفصل ^ توان مجموعه‌ای گروه‌ها ⊕ حاصل‌جمع مستقیم ∗ حاصل‌ضرب آزاد ≀ produit en couronne مدول‌ها ⊗ ضرب تانسوری Hom هومومورفیزم Tor پیچش Ext extensions	درخت‌ها ∨ enracinement واریته‌های متصل # جمع متصل فضاهای نقطه‌دار ∨ bouquet ∧ smash produit ∗ joint
	بُرداری
	(.) ضرب اسکالر ∧ ضرب برداری
	جبری
	[,] کروشه لی {,} کروشه پواسون ∧ ضرب خارجی
	هومولوژی
	∪ cup-produit • حاصل‌ضرب اشتراک	ترتیبی
		+ الحاق
منطق بولی
∧ عطف منطقی	∨ فصل منطقی	⊕ یای انحصاری	⇒ استلزام منطقی	⇔ اگر و فقط اگر