تابع Càdlàg

در ریاضیات یک تابع  càdlàg یا corlol تابعی است که روی اعداد حقیقی یا زیرمجموعه‌ای از آن تعریف می‌شود به صورتی که همه جا از راست پیوسته است و از چپ دارای حد (ریاضی) است. توابع càdlàg در مطالعهٔ فرایندهای تصادفی اهمیت دارند به گونه‌ای که برخلاف حرکت براونی که مسیر نمونه‌هایی پیوسته دارد ، نا پیوستگی را در مسیرهای نمونه‌ای قابل قبول می‌داند. مجموعه توابع càdlàg روی یک دامنه به عنوان فضای Skorokhod  شناخته می‌شود.

دو اصطلاح مرتبط عبارتند ازcàglàd برای بیان càdlàg چپ-راست بازگشتی و càllàl برای تابعی که روی هر نقطه‌ای از دامنه به هر دو صورتcàdlàg یا càglàd قابل معاوضه است.

تعریف

توزیع تجمعی توابع نمونه‌هایی از توابع càdlàg .

فرض کنید (M, d) یک فضای متریک و همچنین E ⊆ R باشد. یک تابع ƒ: E → M  ،تابع càdlàg  نامیده می‌شود اگر برای هر t ∈ E:

• حد چپ  (ƒ(t−) := lims↑t ƒ(s وجود داشته باشد، و  
• حد راست موجود (ƒ(t+) := lims↓t ƒ(s و برابر  (ƒ(t باشد. 

که این بدان معناست که  ƒ از راست پیوستگی و از چپ حد دارد.

نمونه‌ها

• تمام توابع پیوسته ، càdlàg هستند.
• به عنوان یک نتیجه از تعریف توابع càdlàg ، تمام توابع توزیع تجمعی càdlàg  هستند. برای نمونه احتمال تجمعی در نقطه ی r میزان احتمالی است که یک متغیر تصادفی کمتر یا بیشتر از r باشد ، ${\displaystyle \mathbb {P} [x\leq r]}$. 
• مشتق راست ${\displaystyle f_{+}^{\prime }}$ هر تابع محدب f که روی یک بازهٔ باز تعریف شده باشد ،یک تابع cadlag افزایشی است.

فضای Skorokhod 

مجموعهٔ تمام توابع càdlàg از E تا M  اغلب به صورت (D(E; M  (و یا برای سادگی D) نمایش داده می‌شود و فضای Skorokhod  نامیده می‌شود. می‌توان به فضای Skorokhod یک توپولوژی نسبت داد که مستقیماً ما را قادر می‌سازد "فضا و زمان را قدری دگرگون سازیم" (درحالی که توپولوژی‌های سنتی مربوط به همگرایی یکنواخت تنها اجازهٔ دگرگونی اندک فضا را می‌دهد)

برای سادگی [E = [0, T و M = Rⁿ — برای بررسی بیشتر ساختار به Billingsley مراجعه کنید.

نخست لازم است که یک ماژول پیوستگی مشابه تعریف شود:

(ϖ′ƒ(δ .برای هر F ⊆ E، قرار دهید :

${\displaystyle w_{f}(F):=\sup _{s,t\in F}|f(s)-f(t)|}$

و برای δ> 0 ماژول  càdlàg را چنین تعریف کنید:

${\displaystyle \varpi '_{f}(\delta ):=\inf _{\Pi }\max _{1\leq i\leq k}w_{f}([t_{i-1},t_{i})),}$

که در آن مقدار infimum روی تمام اجزای Π = {0 = t₀ <t₁ <… <t_k = T}, k ∈ N, با min_i (t_i − t_i−1)> δ محاسبه می‌شود. این شیوهٔ تعریف برای توابع غیر càdlàg شهودا پذیرفتنی است و می‌توان نشان داد که   ƒ   در اینجا càdlàg است اگر و تنها اگر ϖ′_ƒ(δ) → 0 جایی که δ → 0.

فرض کنید Λ مجموعه تمام توابع دوسویه پیوسته و strictly increasing از E به خودش باشد.(اینها "دگرگونی در زمان" هستند) فرض کنید: 

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in E}|f(t)|}$

نرم (ریاضی) یکنواخت روی تابع E را مشخص کند. متریک Skorokhod زوی σ در D به صورت زیر تعریف شود:

${\displaystyle \sigma (f,g):=\inf _{\lambda \in \Lambda }\max\{\|\lambda -I\|,\|f-g\circ \lambda \|\},}$

که در آن I: E → E تابع همانی است. در بیان "wiggle" ، مقدار||λ − I|| برابر است با "wiggle در زمان" و ||ƒ − g○λ|| ااندازهٔ "wiggle در فضا" را مشخص می‌کند.

توپولوژی Σ تولید شده توسط σ توپولوژِی  Skorokhod توپولوژی در Dاست.

خواص فضای Skorokhod 

تعمیم  توپولوژی یکنواخت

فضای C از توابع پیوسته  E یک زیرفضا از D است. توپولوژی Skorokhod  با  C هم‌زمان با, توپولوژی وجود دارد.

کامل بودن

می توان نشان داد که، اگرچه D با معیار Skorokhod یک فضای کامل نیست ، یک  معیار معادل توپولوژیکی σ₀ وجود دارد که D با توجه به آن کامل است.[1]

جدایی‌پذیری

با در نظر گرفتن هر کدام از σ یا σ₀ ، فضا ی D یک فضای تفکیک پذیر است بنابراین Skorokhod یک فضای polish  است.

تنگی در فضای Skorokhod 

به عنوان یک کاربرد از با قضیه Arzelà–Ascoli می‌تواند نشان داد که یک دنباله ,...μn)n=1,2)  از اندازه‌گیری‌های احتمالاتی روی فضای D سخت است اگر و تنها اگر :
${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\|f\|\geq a\}{\big )}=0,}$

و

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}{\big (}\{f\in D\;|\;\varpi '_{f}(\delta )\geq \varepsilon \}{\big )}=0{\text{ for all }}\varepsilon >0.}$

ساختار جبری و توپولوژیکی

تحت توپولوژِی Skorokhod  و جمع نقطه‌ای توابع ، D یک گروه توپولوژیکال نیست ، به عنوان مثال:

فرض کنید بازیهٔ واحد باشد و در نظر بگیرید که یک دنباله از توابع مشخصه باشد . برخلاف این واقعیت که در توپولوژی ، دنبالهٔ به 0 همگرا نمی‌شود.

منابع

1. Convergence of probability measures - Billingsley 1999.

• https://en.wikipedia.org/wiki/Càdlàg