حرکت هارمونیک ساده

در مکانیک و فیزیک نوسانگر هماهنگ ساده نمونه‌ای از یک حرکت نوسانی است. این حرکت می‌تواند به عنوان مدل ریاضی برای انواع حرکت‌ها به کار رود به خصوص در حرکت‌های تناوبی. به علاوه پدیده دیگری که می‌توان با نوسانگر هماهنگ ساده تقریب زده شود ارتعاش مولکولی است. نوسانگر هماهنگ ساده با حرکت وزنه متصل به فنر ایجاد می‌شود.

مکانیک کلاسیک
${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ قوانین حرکت نیوتن
تاریخچه گاه‌شمار
بخش‌ها کاربردی سماوی محیط‌های پیوسته تحلیلی سینماتیک سینتیک استاتیک آماری
مفاهیم پایه شتاب تکانه زاویه‌ای کوپل اصل دالامبر انرژی انرژی جنبشی انرژی پتانسیل نیرو چارچوب مرجع ضربه لختی / گشتاور لختی جرم (فیزیک) توان کار گشتاور تکانه فضا سرعت زمان گشتاور نیرو سرعت برداری کار مجازی
فرمول‌سازی‌ها قوانین حرکت نیوتن مکانیک تحلیلی مکانیک لاگرانژی مکانیک هامیلتونی Routhian mechanics معادله هامیلتون-ژاکوبی Appell's equation of motion Udwadia–Kalaba equation Koopman–von Neumann mechanics
موضوعات اصلی نوسانگر هماهنگ (نسبت میرایی) بردار جابجایی معادله حرکت قانون حرکت اویلر شبه‌نیرو اصطکاک نوسانگر هماهنگ دستگاه مرجع لخت / دستگاه مرجع غیر لخت حرکت صفحه‌ای ذره حرکت (حرکت خطی) قانون جهانی گرانش نیوتن قوانین حرکت نیوتن سرعت نسبی جسم صلب دینامیک اجسام صلب معادلات اویلر نوسانگر هماهنگ ساده ارتعاش
چرخش به دور محور ثابت حرکت دایره‌ای دستگاه مرجع چرخان نیروی مرکزگرا نیروی گریز از مرکز عکس العمل اثر کوریولیس آونگ سرعت سرعت دورانی شتاب زاویه‌ای / جابه‌جایی زاویه‌ای / بسامد زاویه‌ای / سرعت زاویه‌ای
دانشمندان گالیله نیوتن کپلر جرمایا هاروکس هالی اویلر دالامبر کلرو لاگرانژ لاپلاس همیلتون پواسون دانیل برنولی یوهان برنولی کوشی

بررسی اولیه

نوسانگر هماهنگ ساده

یک نوسانگر

در تصویر متحرک روبه رو یک نوسانگر هماهنگ را می‌بینید که از یک فنر متصل به جسم ثابت (سقف) و یک جسم متحرک تشکیل شده‌است. اگر جسم را در نقطه تعادلی رها شود حرکتی رخ نمی‌دهد ولی اگر کمی از حالت تعادلی خارج شود به آن نیرو وارد شده و شروع به نوسان می‌کند. طبق قانون هوک: ${\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} }$ که F نیرو و k ضریب سختی است.

دینامیک نوسانگر هماهنگ ساده

معادله نوسانگر هماهنگ ساده یک بعدی که یک معادله دیفرانسیل معمولی مرتبه دو است و ضرایب ثابت دارد می‌تواند با استفاده از قانون دوم نوشته شود: ${\displaystyle F_{net}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx}$ پس حال می‌توان گفت که :${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\left({\frac {k}{m}}\right)x}$ حل این معادله دیفرانسیل یک موج سینوسی به این صورت است:${\displaystyle x(t)=x_{0}\cos \left(\omega t\right)+{\frac {v_{0}}{\omega }}\sin \left(\omega t\right)}$ که می‌تواند به این صورت نوشته شود:${\displaystyle x(t)=A\cos \left(\omega t+\varphi \right)}$ که در آن:

${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ و ${\displaystyle A={\sqrt {{c_{1}}^{2}+{c_{2}}^{2}}}}$ و ${\displaystyle \tan \varphi =\left({\frac {c_{2}}{c_{1}}}\right)}$

در نتیجه:

${\displaystyle v(t)={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=-A\omega \sin(\omega t-\varphi )}$

که ω = 2πf

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}}$

T = 1/f که T دوره تناوب است

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {m}{k}}}}$

انرژی

یک آونگ که حرکت آن شبیه به نوسانگر هماهنگ ساده است

${\displaystyle k/m}$ را به جای ${\displaystyle \omega ^{2}}$ جاگذاری می‌کنیم پس انرژی جنبشی:

${\displaystyle K(t)={\frac {1}{2}}mv^{2}(t)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}A^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t-\varphi )}$

و انرژی پتانسیل : ${\displaystyle U(t)={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t-\varphi )}$

و انرژی مکانیکی مقدار ثابتی دارد : ${\displaystyle E=K+U={\frac {1}{2}}kA^{2}}$

منابع

• Walker, Jearl (2011). Principles of Physics (9th ed.). Hoboken, N.J. : Wiley. ISBN 0-470-56158-0.
• Thornton, Stephen T.; Marion, Jerry B. (2003). Classical Dynamics of Particles and Systems (5th ed.). Brooks Cole. ISBN 0-534-40896-6.
• John R Taylor (2005). Classical Mechanics. University Science Books. ISBN 1-891389-22-X.
• Grant R. Fowles; George L. Cassiday (2005). Analytical Mechanics (7th ed.). Thomson Brooks/Cole. ISBN 0-534-49492-7.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Simple harmonic motion». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.