مکانیک لاگرانژی

مکانیک لاگرانژی فورمول‌بندی و نمایش دوباره‌ای‌ست از مکانیک کلاسیک توسط ژوزف لویس لاگرانژ (در ۱۷۸۸ میلادی) که بر اساس کمینه‌سازی یک تابعی (Functional) به نام کنش (Action) استوار ست (اصل کمترین کنش). بنا به تعریف، لاگرانژین تفاضل انرژی جنبشی و انرژی پتانسیل است. یعنی داریم:

${\displaystyle L=T-V\!}$

مکانیک کلاسیک
${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ قوانین حرکت نیوتن
تاریخچه گاه‌شمار
بخش‌ها کاربردی سماوی محیط‌های پیوسته تحلیلی سینماتیک سینتیک استاتیک آماری
مفاهیم پایه شتاب تکانه زاویه‌ای کوپل اصل دالامبر انرژی انرژی جنبشی انرژی پتانسیل نیرو چارچوب مرجع ضربه لختی / گشتاور لختی جرم (فیزیک) توان کار گشتاور تکانه فضا سرعت زمان گشتاور نیرو سرعت برداری کار مجازی
فرمول‌سازی‌ها قوانین حرکت نیوتن مکانیک تحلیلی مکانیک لاگرانژی مکانیک هامیلتونی Routhian mechanics معادله هامیلتون-ژاکوبی Appell's equation of motion Udwadia–Kalaba equation Koopman–von Neumann mechanics
موضوعات اصلی نوسانگر هماهنگ (نسبت میرایی) بردار جابجایی معادله حرکت قانون حرکت اویلر شبه‌نیرو اصطکاک نوسانگر هماهنگ دستگاه مرجع لخت / دستگاه مرجع غیر لخت حرکت صفحه‌ای ذره حرکت (حرکت خطی) قانون جهانی گرانش نیوتن قوانین حرکت نیوتن سرعت نسبی جسم صلب دینامیک اجسام صلب معادلات اویلر نوسانگر هماهنگ ساده ارتعاش
چرخش به دور محور ثابت حرکت دایره‌ای دستگاه مرجع چرخان نیروی مرکزگرا نیروی گریز از مرکز عکس العمل اثر کوریولیس آونگ سرعت سرعت دورانی شتاب زاویه‌ای / جابه‌جایی زاویه‌ای / بسامد زاویه‌ای / سرعت زاویه‌ای
دانشمندان گالیله نیوتن کپلر جرمایا هاروکس هالی اویلر دالامبر کلرو لاگرانژ لاپلاس همیلتون پواسون دانیل برنولی یوهان برنولی کوشی

در اینجا، تکامل سیستم از حالتی به حالت دیگر به نحوی صورت می‌گیرد که انتگرال لاگرانژین کمینه شود. مثلاً، در ساده‌ترین حالت، کُنشِ مکان یک ذره در مکانیک کلاسیک با توجیهی لاگرانژی به صورت زیر نوشته می‌شود:

${\displaystyle S=\int _{0}^{T}{({{1} \over {2}}m{\dot {x}}^{2}-V(x))dt}}$

در اینجا x خود تابعی از زمان است. ${\displaystyle x=x(t)}$. کمینه‌کردن کمیت S منجر به معادلاتی می‌شود که اصطلاحاً به آن‌ها معادلات اولر-لاگرانژ می‌گویند:

${\displaystyle {\partial L \over {\partial x}}-{d \over {dt}}{\partial L \over {\partial {\dot {x}}}}=0}$

که می‌شود:

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\partial V \over \partial x}=F}$

که همان قانون دوم نیوتن است. زمانیکه ما ذره را به صورت نسبیتی بررسی کنیم. لاگرانژی دیگر یک کمیت نرده‌ای نیست، بلکه، یک چاربردار است. تفاضل چابردار جنبشی و پتانسیل به ما چاربردار لاگرانژی را میدهد. و کنش انتگرال چاربردار دیفرانسیلی مکان روی چاربردار لاگرانژی خواهد بود.

همانطور که می‌دانیم، دسترسی کلاسیک به مکانیک کوانتومی از طریق مکانیک همیلتونی صورت می‌پذیرد. از طرف دیگر ریچارد فاینمن موفق شد از طریق مکانیک لاگرانژی به دسترسی مدرن‌تری به سوی مکانیک کوانتومی دست یابد که این دسترسی مدرن از طریق انتگرال مسیر فاینمن (یا انتگرال تابعی) امکان‌پذیر است.

جستارهای وابسته

• مکانیک همیلتونی
• مکانیک کوانتومی
• حسابان تغییرها
• نظریه میدان اسکالر
• نظریه میدان‌های کوانتومی
• انتگرال مسیر فاینمن

منابع

• Goldstein, H. Classical Mechanics, second edition, (Addison-Wesley, 1980)

پیوند به بیرون

• مکانیک لاگرانژی، دانشنامهٔ رشد