نوسانگر هماهنگ

در مکانیک کلاسیک, یک نوسانگر هماهنگ سیستمی است ذره از موقعیت تعادل خود به اندازه x دور شده‌است و یک نیروی بازگردانده F به آن وارد می‌شود:

${\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}}\,}$

مکانیک کلاسیک
${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$ قوانین حرکت نیوتن
تاریخچه گاه‌شمار
بخش‌ها کاربردی سماوی محیط‌های پیوسته تحلیلی سینماتیک سینتیک استاتیک آماری
مفاهیم پایه شتاب تکانه زاویه‌ای کوپل اصل دالامبر انرژی انرژی جنبشی انرژی پتانسیل نیرو چارچوب مرجع ضربه لختی / گشتاور لختی جرم (فیزیک) توان کار گشتاور تکانه فضا سرعت زمان گشتاور نیرو سرعت برداری کار مجازی
فرمول‌سازی‌ها قوانین حرکت نیوتن مکانیک تحلیلی مکانیک لاگرانژی مکانیک هامیلتونی Routhian mechanics معادله هامیلتون-ژاکوبی Appell's equation of motion Udwadia–Kalaba equation Koopman–von Neumann mechanics
موضوعات اصلی نوسانگر هماهنگ (نسبت میرایی) بردار جابجایی معادله حرکت قانون حرکت اویلر شبه‌نیرو اصطکاک نوسانگر هماهنگ دستگاه مرجع لخت / دستگاه مرجع غیر لخت حرکت صفحه‌ای ذره حرکت (حرکت خطی) قانون جهانی گرانش نیوتن قوانین حرکت نیوتن سرعت نسبی جسم صلب دینامیک اجسام صلب معادلات اویلر نوسانگر هماهنگ ساده ارتعاش
چرخش به دور محور ثابت حرکت دایره‌ای دستگاه مرجع چرخان نیروی مرکزگرا نیروی گریز از مرکز عکس العمل اثر کوریولیس آونگ سرعت سرعت دورانی شتاب زاویه‌ای / جابه‌جایی زاویه‌ای / بسامد زاویه‌ای / سرعت زاویه‌ای
دانشمندان گالیله نیوتن کپلر جرمایا هاروکس هالی اویلر دالامبر کلرو لاگرانژ لاپلاس همیلتون پواسون دانیل برنولی یوهان برنولی کوشی

که k یک ضریب مثبت است.

اگر F تنها نیروی وارد بر ذره باشد نام آن نوسانگر هماهنگ ساده می‌شود, و تحت حرکت هماهنگ ساده حول نقطه تعادل سینوسی خواهد بود دامنه‌ و بسامد نوسان آن ثابت خواهد بود.

اگر یک نیروی اصطکاکی وجود داشته باشد نوسان مورد نظر میرا می‌شود.

در مکانیک کوانتمی نوسانگر هماهنگ کوانتمی نیز وجود دارد که از اعمال شرایط کوانتمی بر پتانسیل‌های نوسانگر هماهنگ بدست می‌آید.

نوسان‌گر هماهنگ ساده

حرکت هماهنگ ساده

نوسان هماهنگ ساده، حرکتی هماهنگ است که در آن میرایی وجود ندارد. بنابرین نیروی وارد بر آن از فرمول زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-kx.}$

حل این معادله دیفرانسیل نتیجه زیر را دارد:

${\displaystyle x(t)=A\cos \left(2\pi ft+\phi \right),}$

که

${\displaystyle f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}={\frac {1}{T}}.}$

این حرکت یک تابع متناوب است. انرژی پتانسیل ذخیره شده در نوسانگر از رابطه زیر بدست می‌آید:

${\displaystyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}.}$

مثال‌ها

آونگ ساده

یک آونگ ساده در شرایط عدم میرایی و دامنه محدود، حرکت هماهنگ ساده نشان می‌دهد.

بافرض آن‌که میرایی وجود ندارد و دامنهٔ حرکت کوچک است، معادلهٔ دیفرانسیل حاکم بر یک آونگ ساده به صورت زیر است (برای حصول این معادله، می‌توان آونگ را به میزان اندکی منحرف کرد و از قانون دوم اویلر -فرم زاویه‌ای قانون دوم حرکت- بهره گرفت):

${\displaystyle {\mathrm {d} ^{2}\theta \over \mathrm {d} t^{2}}+{g \over \ell }\theta =0.}$

جواب این معادله به صورت زیر است:

${\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {g \over \ell }}t\right)\quad \quad \quad \quad |\theta _{0}|\ll 1}$

که در آن ${\displaystyle \theta _{0}}$ بیشینه زاویه‌ای است که آونگ به آن می‌رسد. دوره تناوب، زمان لازم برای یک نوسان، از حاصل‌ضرب ${\displaystyle 2\pi }$ تقسیم بر آرگومان کسینوس که در این‌جا ${\displaystyle {\sqrt {g \over \ell }}}$ است به دست می‌آید؛ پس خواهیم داشت:

${\displaystyle T_{0}=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\quad \quad \quad \quad |\theta _{0}|\ll 1.}$

سیستم‌های معادل

حرکت انتقالی	حرکت دورانی	مدار RLC	مدار RLC
موقعیت ${\displaystyle x\,}$	زاویه ${\displaystyle \theta \,\!}$	بار ${\displaystyle q\,}$	ولتاژ ${\displaystyle e\,}$
سرعت برداری ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\,}$	سرعت زاویه‌ای ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}\,}$	جریان الکتریکی ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}\,}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} e}{\mathrm {d} t}}\,}$
جرم (فیزیک) ${\displaystyle M\,}$	ممان اینرسی ${\displaystyle I\,}$	القاوری ${\displaystyle L\,}$	ظرفیت خازنی ${\displaystyle C\,}$
قانون هوک ${\displaystyle K\,}$	ثابت پیچشی ${\displaystyle \mu \,}$	ظرفیت خازنی ${\displaystyle 1/C\,}$	سوسپتانس ${\displaystyle 1/L\,}$
اصطکاک ${\displaystyle \gamma \,}$	اصطکاک دورانی ${\displaystyle \Gamma \,}$	مقاومت الکتریکی ${\displaystyle R\,}$	مقاومت الکتریکی ${\displaystyle 1/R\,}$
Drive نیرو ${\displaystyle F(t)\,}$	Drive گشتاور ${\displaystyle \tau (t)\,}$	${\displaystyle e\,}$	${\displaystyle \mathrm {d} i/\mathrm {d} t\,}$
تشدید ${\displaystyle f_{n}\,}$:
${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {K}{M}}}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}\,}$
معادلات دیفرانسیل:
${\displaystyle M{\ddot {x}}+\gamma {\dot {x}}+Kx=F\,}$	${\displaystyle I{\ddot {\theta }}+\Gamma {\dot {\theta }}+\mu \theta =\tau \,}$	${\displaystyle L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=e\,}$	${\displaystyle C{\ddot {e}}+{\dot {e}}/R+e/L={\dot {i}}\,}$

منابع

Wikipedia contributors, "Harmonic oscillator," Wikipedia, The Free Encyclopedia, http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Harmonic_oscillator&oldid=485806633 (accessed May 3, 2012).