دستگاه ریشه‌ای

دستگاه ریشه‌ای (به انگلیسی: Root System)، پیکره‌بندی از بردارها در فضای اقلیدسی است که در خواص هندسی به‌خصوصی صدق می‌کنند. این مفهوم در نظریه گروه‌های لی و جبرهای لی، به‌خصوص در رده‌بندی و نظریه نمایش مربوط به جبرهای لی نیم-ساده، نقش بنیادینی دارد. از آنجا که گروه‌های لی (و برخی از اشیاء مشابه آن‌ها چون گروه‌های جبری) و جبرهای لی، طی قرن بیستم در بسیاری از بخش‌های ریاضیات نقش مهمی پیدا کرده‌است. تعدد کاربردهای دستگاه‌های ریشه‌ای در حوزه‌های مختلفی از ریاضیات، نشان‌دهنده اهمیت ذاتی آن است. همچنین، الگوی رده‌بندی دستگاه‌های ریشه‌ای توسط نمودارهای دینکین، در بخشی از ریاضیات رخ می‌دهند که لزوماً ارتباط آشکاری با نظریه لی ندارد (همچون نظریه تکینگی). در نهایت، دستگاه‌های ریشه‌ای به خودی خود در مواردی چون نظریه طیفی گراف‌ها، مهم تلقی می‌گردند.[1]

گروه‌های لی
گروه‌های کلاسیک خطی عام GL(n) خطی خاص SL(n) متعامد O(n) متعامد خاص SO(n) یکانی U(n) یکانی خاص SU(n) همتافته Sp(n)
گروه‌های لی ساده کلاسیک An Bn Cn Dn استثنایی G2 F4 E6 E7 E8
جدول‌های گروه‌های لی Circle Lorentz گروه پوانکاره Conformal group دیفئومورفیسم Loop Euclidean
جبرهای لی تناظر گروه لی-جبر لی Exponential map Adjoint representation فرم کیلینگ Index Lie point symmetry جبر لی ساده
جبر لی نیم-ساده نمودارهای دینکین Cartan subalgebra دستگاه ریشه‌ای گروه ویل Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
نظریه نمایش Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
گروه‌های لی در فیزیک Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
دانشمندان سوفوس لی آنری پوانکاره ویلهلم کیلینگ الی کارتان هرمان ویل Claude Chevalley هریش-چاندرا آرمند بورل
واژه‌نامه جدول‌های گروه‌های لی

ارجاعات

1. Cvetković, Dragoš (2002). "Graphs with least eigenvalue −2; a historical survey and recent developments in maximal exceptional graphs". Linear Algebra and Its Applications. 356 (1–3): 189–210. doi:10.1016/S0024-3795(02)00377-4.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Root System». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۲۰ مهٔ ۲۰۲۱.

منابع

• Adams, J.F. (1983), Lectures on Lie groups, University of Chicago Press, ISBN 0-226-00530-5
• Bourbaki, Nicolas (2002), Lie groups and Lie algebras, Chapters 4–6 (translated from the 1968 French original by Andrew Pressley), Elements of Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 3-540-42650-7. The classic reference for root systems.
• Bourbaki, Nicolas (1998). Elements of the History of Mathematics. Springer. ISBN 3-540-64767-8.
• Coleman, A.J. (Summer 1989), "The greatest mathematical paper of all time", The Mathematical Intelligencer, 11 (3): 29–38, doi:10.1007/bf03025189
• Hall, Brian C. (2015), Lie groups, Lie algebras, and representations: An elementary introduction, Graduate Texts in Mathematics, 222 (2nd ed.), Springer, ISBN 978-3-319-13466-6
• Humphreys, James (1972). Introduction to Lie algebras and Representation Theory. Springer. ISBN 0-387-90053-5.
• Humphreys, James (1992). Reflection Groups and Coxeter Groups. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43613-3.
• Killing, Wilhelm (June 1888). "Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen". Mathematische Annalen. 31 (2): 252–290. doi:10.1007/BF01211904. S2CID 120501356. Archived from the original on 2016-03-05.
  • — (March 1888). "Part 2". Math. Ann. 33 (1): 1–48. doi:10.1007/BF01444109.
  • — (March 1889). "Part 3". Math. Ann. 34 (1): 57–122. doi:10.1007/BF01446792. Archived from the original on 2015-02-21.
  • — (June 1890). "Part 4". Math. Ann. 36 (2): 161–189. doi:10.1007/BF01207837.
• Kac, Victor G. (1990). Infinite-Dimensional Lie Algebras (3rd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46693-6.
• Springer, T.A. (1998). Linear Algebraic Groups (2nd ed.). Birkhäuser. ISBN 0-8176-4021-5.

برای مطالعه بیشتر

• Dynkin, E.B. (1947). "The structure of semi-simple algebras". Uspekhi Mat. Nauk. 2 (به روسی). 4 (20): 59–127. MR 0027752.