گروه کلاسیک

در ریاضیات، گروه‌های کلاسیک (به انگلیسی: Classical Groups)، شامل این موارد تعریف می‌گردند: گروه‌های خطی خاص روی اعداد حقیقی ${\displaystyle \mathbb {R} }$، اعداد مختلط ${\displaystyle \mathbb {C} }$ و چهارگان‌ها ${\displaystyle \mathbb {H} }$، گروه‌های خودریختی خاص[1] فرم‌های دوخطی متقارن یا اریب-متقارن و فرم‌های یک-و-نیم خطی هرمیتی و اریب-هرمیتی تعریف شده بر روی فضاهای برداری متناهی بعدی حقیقی، مختلط و چهارگان.[2] از بین این موارد، گروه‌های لی کلاسیک مختلط، شامل چهار خانواده از گروه‌های لی ساده اند که به همراه گروه‌های استثنایی، رده بندی گروه‌های لی ساده را تکمیل می‌کنند. گروه‌های کلاسیک فشرده، فرم‌های حقیقی فشرده‌ای از گروه‌های کلاسیک مختلط اند. حالت متناهی مشابه با گروه‌های کلاسیک، گروه‌های کلاسیک از نوع لی اند. عبارت «گروه کلاسیک» توسط هرمان ویل ابداع شد، همچنین این عبارت عنوان تک‌نگاری ۱۹۳۹ او نیز بود (The Classical Groups).[3]

گروه‌های لی
گروه‌های کلاسیک خطی عام GL(n) خطی خاص SL(n) متعامد O(n) متعامد خاص SO(n) یکانی U(n) یکانی خاص SU(n) همتافته Sp(n)
گروه‌های لی ساده کلاسیک An Bn Cn Dn استثنایی G2 F4 E6 E7 E8
جدول‌های گروه‌های لی Circle Lorentz گروه پوانکاره Conformal group دیفئومورفیسم Loop Euclidean
جبرهای لی تناظر گروه لی-جبر لی Exponential map Adjoint representation فرم کیلینگ Index Lie point symmetry جبر لی ساده
جبر لی نیم-ساده نمودارهای دینکین Cartan subalgebra دستگاه ریشه‌ای گروه ویل Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
نظریه نمایش Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
گروه‌های لی در فیزیک Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
دانشمندان سوفوس لی آنری پوانکاره ویلهلم کیلینگ الی کارتان هرمان ویل Claude Chevalley هریش-چاندرا آرمند بورل
واژه‌نامه جدول‌های گروه‌های لی

گروه‌های کلاسیک، عمیق‌ترین و مفیدترین بخش موضوع مربوط به گروه‌های لی خطی را تشکیل می‌دهند.[4] اکثر انواع گروه‌های کلاسیک در فیزیک کلاسیک و مدرن کاربرد پیدا می‌کنند. مثال‌های معدودی از این کاربردها در ادامه ذکر می‌گردند. گروه دورانی ${\displaystyle SO(3)}$، تقارنی از فضای اقلیدسی و تمام قوانین بنیادی فیزیک است، گروه لورنتزی ${\displaystyle O(3,1)}$ نیز گروهی تقارنی فضا-زمان و نسبت خاص می‌باشد. گروه یکانی خاص ${\displaystyle SU(3)}$، گروه تقارنی کرومودینامیک کوانتومی بوده و گروه همتافته ${\displaystyle Sp(m)}$ در نسخه‌های مکانیک همیلتونی و مکانیک کوانتومی‌اش کاربرد پیدا می‌کند.

ارجاعات

1. در اینجا خاص بودن به معنای زیرگروهی از گروه کامل خودریختی‌هاست که دارای دترمینان 1 باشند.
2. Rossmann 2002 p. 94.
3. Weyl 1939
4. Rossmann 2002 p. 91.

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Classical Group». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۳ مهٔ ۲۰۲۱.

منابع

• E. Artin (1957) Geometric Algebra, Interscience
• Dieudonné, Jean (1955), La géométrie des groupes classiques, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (N.F.), Heft 5, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-05391-2, MR 0072144
• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (2009), Symmetry, Representations, and Invariants, Graduate texts in mathematics, 255, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-79851-6
• Knapp, A. W. (2002). Lie groups beyond an introduction. Progress in Mathematics. 120 (2nd ed.). Boston·Basel·Berlin: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5.
• V. L. Popov (2001) [1994], "Classical group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
• Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9