دوازده‌ضلعی

در هندسه، دوازده‌ضلعی (به انگلیسی: Dodecagon)، یک چندضلعی با دوازده ضلع است.

دوازده‌ضلعی منتظم
یک دوازده‌ضلعی منتظم
اضلاع و رأس‌ها	۱۲
نماد اشلفلی	{۱۲}
مساحت (با طول ضلع ${\displaystyle a}$)	${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\\&\simeq 11.19615242\,a^{2}.\end{aligned}}}$
زاویه داخلی (درجه)	۱۵۰

دوازده‌ضلعی منتظم

یک دوازده‌ضلعی منتظم دارای ضلع‌ها و زاویه‌های داخلی برابر است. اندازهٔ زاویه‌های داخلی هر رأس آن، ۱۵۰ درجه بوده و مساحت آن با استفاده از رابطهٔ زیر محاسبه می‌شود:

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=3\cot \left({\frac {\pi }{12}}\right)a^{2}=3\left(2+{\sqrt {3}}\right)a^{2}\ &\simeq 11.19615242\,a^{2}.\end{aligned}}}$

یا اگر R شعاع دایره محیطی دوازده‌ضلعی منتظم باشد،[1]

${\displaystyle A=6\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)R^{2}=3R^{2}.}$

و اگر r شعاع دایره محاطی آن باشد،

${\displaystyle {\begin{aligned}A&=12\tan \left({\frac {\pi }{12}}\right)r^{2}=12\left(2-{\sqrt {3}}\right)r^{2}\ &\simeq 3.2153903\,r^{2}.\end{aligned}}}$

یک فرمول ساده برای مساحت دوازده‌ضلعی منتظم به صورت ${\displaystyle \scriptstyle A\,=\,3ad}$ است، که ${\displaystyle d}$ فاصلهٔ بین اضلاع موازی است که برابر با قطر دایره محاطی (${\displaystyle 2r}$) است. با استفاده از روابط مثلثاتی، رابطهٔ ${\displaystyle \scriptstyle d\,=\,a(1\,+\,2cos{30^{\circ }}\,+\,2cos{60^{\circ }})}$ بدست می‌آید.

روش رسم دوازده ضلعی منتظم

یک دوازده‌ضلعی منتظم با استفاده از خط‌کش و پرگار قابل ترسیم است:

روش رسم دوازده ضلعی منتظم

کاربرد

یک دوازده ضلعی منتظم می‌تواند گوشهٔ ایجادشده توسط برخی چندضلعی‌های منتظم دیگر را پر کند:

3.12.12

4.6.12

3.3.4.12

3.4.3.12

۳ مثال از کاربرد دوازده‌ضلعی منتظم در کاشی‌کاری در زیر ارائه شده است:

کاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۳٫۱۲٫۱۲

کاشی‌کاری نیمه‌منتظم ۴٫۶٫۱۲

کاشی‌کاری غیرمنتظم ۳٫۳٫۴٫۱۲ و ۳٫۳٫۳٫۳٫۳٫۳

پانویس

1. همچنین ببینید Kürschák's geometric proof on the Wolfram Demonstration Project بایگانی‌شده در ۳۱ ژوئیه ۲۰۱۸ توسط Wayback Machine