قاعده جمع

قاعده جمع در حسابان، روش پیدا کردن مشتق یک تابع است که آن، تابع، از مجموع دو یا چند تابع دیگر حاصل شده باشد. اگر تابعی از مجموع دو تابع u و v حاصل شده باشد آنگاه داریم:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u+v)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}}$

بخشی از سری مقالات
حسابان
قضیه اساسی قاعده انتگرال گیری لایبنیز حد توابع پیوستگی قضیه مقدار میانگین قضیه رول
دیفرانسیل تعاریف مشتق (تعمیم‌ها) دیفرانسیل بی‌نهایت‌کوچک‌ها از یک تابع کلی مفاهیم نمادگذاری دیفرانسیل گیری مشتق دوم دیفرانسیل گیری ضمنی دیفرانسیل گیری لگاریتمی نرخ های مرتبط قضیه تیلور قواعد و اتحادها جمع ضرب زنجیره توان خارج قسمت قاعده هوپیتال معکوس لایبنیز عمومی فرمول فا دی برونو
انتگرال لیست انتگرال‌ها تبدیل انتگرالی تعاریف پادمشتق انتگرال (نامعین) انتگرال ریمانی انتگرال لبگ انتگرال کانتور انتگرال توابع معکوس انتگرال گیری توسط جزء به جزء دیسک ها پوسته‌های سیلندری تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر) فرمول اویلر کسرهای جزئی تغییر ترتیب فرمول کاهش دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
سری هندسی (حسابی-هندسی) هارمونیک متناوب توانی دوجمله‌ای تیلور آزمون‌های همگرایی حد جمعوند (آزمون جمله) نسبت ریشه انتگرال آزمون مقایسه مقایسه حدی سری‌های متناوب چگالی کوشی دیریکله آبل
بردار گرادیان دیورژانس کرل لاپلاس مشتق جهتی اتحادها قضایا گرادیان گرین استوکس دیورژانس استوکس تعمیم یافته
چندمتغیره فرمالیسم‌ها ماتریس تنسور خارجی هندسی تعاریف مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ژاکوبی هسین
تخصصی کسری مالیاوین تصادفی تغییرات
متفرقه پیش-حسابان تاریخچه واژه‌نامه فهرست موضوعا

اگر تابعی از مجموع چند تابع حاصل شده باشد آنگاه داریم:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}(u+v+w+\dots )={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}+{\frac {dw}{dx}}+\cdots }$

اثبات

اثبات ساده

اگر تابع (h(x) = f(x) + g(x را در نظر گرفت و فرض کرد که f و g در هر نقطه‌ای مانند x مشتق پذیر هستند. آنگاه باید ثابت کرد که تابع h در x مشتق پذیر است و مشتق آن تابعی مانند (h'(x می‌باشد که از (f'(x)+g'(x حاصل شده‌است.

${\displaystyle h'(x)=\lim _{a\to 0}{\frac {h(x+a)-h(x)}{a}}}$

${\displaystyle =\lim _{a\to 0}{\frac {[f(x+a)+g(x+a)]-[f(x)+g(x)]}{a}}}$

${\displaystyle =\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)+g(x+a)-g(x)}{a}}}$

${\displaystyle =\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)}{a}}+\lim _{a\to 0}{\frac {g(x+a)-g(x)}{a}}}$

${\displaystyle =f'(x)+g'(x)}$

اثبات پیچیده‌تر

اگر تابع y از مجموع دو تابع u و v حاصل شده باشد:

${\displaystyle y=u+v\,}$

اگر y, u و v با اندک افزایش Δy, Δu و Δv، افزایش یابند آنگاه به ترتیب داریم:

${\displaystyle y+\Delta {y}=(u+\Delta {u})+(v+\Delta {v})=u+v+\Delta {u}+\Delta {v}=y+\Delta {u}+\Delta {v}.\,}$

بنابراین:

${\displaystyle \Delta {y}=\Delta {u}+\Delta {v}.\,}$

و حالا با تقسیم Δx بر دوطرف معادله داریم:

${\displaystyle {\frac {\Delta {y}}{\Delta {x}}}={\frac {\Delta {u}}{\Delta {x}}}+{\frac {\Delta {v}}{\Delta {x}}}.}$

و اگر Δx به 0 میل کند:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.}$

با در نظرف گرفتن y = u + v , مشتق جمع می‌دهد:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u+v\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dx}}.}$

می‌توان روش را برای تفریق نیز بسط داد:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {d}{dx}}\left(u+(-v)\right)={\frac {du}{dx}}+{\frac {d}{dx}}\left(-v\right).}$

و با لحاظ کردن ضریب k=−1 داریم:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u-v\right)={\frac {du}{dx}}+\left(-{\frac {dv}{dx}}\right)={\frac {du}{dx}}-{\frac {dv}{dx}}.}$

بنابراین قانون برای جمع و تفریق اینگونه تعریف می‌شود:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(u\pm v\right)={\frac {du}{dx}}\pm {\frac {dv}{dx}}.}$

جستارهای وابسته

• قاعده ضرب
• قاعده زنجیری
• قواعد مشتق‌گیری

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Sum rule in differentiation». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی، بازبینی‌شده در ۱۴ آبان ۱۳۹۴.
• باریس پاولوویچ دمیدوویچ (۱۳۸۹)، تمرین‌ها و مسائل آنالیز ریاضی، پرویز شهریاری، وزارت علوم و آموزش عالی، شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۰-۰۲۸۲-۷
• جورج توماس و راس فینی (۱۳۷۰)، حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسهٔ تحلیلی، مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۷۸-۹۶۴-۰۱-۰۵۳۶-۸