مشتق پارامتری

مشتق پارامتری یک نوع مشتق در حسابان است و زمانی که هر دو متغیر وابسته و مستقل x و y به متغیر سومی (مانند t که زمان در نظر گرفته می‌شود) وابسته باشند بکار می‌رود. به عنوان مثال مجموعه از توابع را در نظر بگیرید که در آن:

${\displaystyle x(t)=4t^{2}\,}$

بخشی از سری مقالات
حسابان
قضیه اساسی قاعده انتگرال گیری لایبنیز حد توابع پیوستگی قضیه مقدار میانگین قضیه رول
دیفرانسیل تعاریف مشتق (تعمیم‌ها) دیفرانسیل بی‌نهایت‌کوچک‌ها از یک تابع کلی مفاهیم نمادگذاری دیفرانسیل گیری مشتق دوم دیفرانسیل گیری ضمنی دیفرانسیل گیری لگاریتمی نرخ های مرتبط قضیه تیلور قواعد و اتحادها جمع ضرب زنجیره توان خارج قسمت قاعده هوپیتال معکوس لایبنیز عمومی فرمول فا دی برونو
انتگرال لیست انتگرال‌ها تبدیل انتگرالی تعاریف پادمشتق انتگرال (نامعین) انتگرال ریمانی انتگرال لبگ انتگرال کانتور انتگرال توابع معکوس انتگرال گیری توسط جزء به جزء دیسک ها پوسته‌های سیلندری تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر) فرمول اویلر کسرهای جزئی تغییر ترتیب فرمول کاهش دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
سری هندسی (حسابی-هندسی) هارمونیک متناوب توانی دوجمله‌ای تیلور آزمون‌های همگرایی حد جمعوند (آزمون جمله) نسبت ریشه انتگرال آزمون مقایسه مقایسه حدی سری‌های متناوب چگالی کوشی دیریکله آبل
بردار گرادیان دیورژانس کرل لاپلاس مشتق جهتی اتحادها قضایا گرادیان گرین استوکس دیورژانس استوکس تعمیم یافته
چندمتغیره فرمالیسم‌ها ماتریس تنسور خارجی هندسی تعاریف مشتق جزئی انتگرال چندگانه انتگرال خطی انتگرال سطحی انتگرال حجمی ژاکوبی هسین
تخصصی کسری مالیاوین تصادفی تغییرات
متفرقه پیش-حسابان تاریخچه واژه‌نامه فهرست موضوعا

و

${\displaystyle y(t)=3t.\,}$

مشتق اول معادله پارامتری بالا:

${\displaystyle {\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}={\frac {{\dot {y}}(t)}{{\dot {x}}(t)}},}$

که در آن، ${\displaystyle {\dot {x}}(t)}$ به معنی مشتق x نسبت به t می‌باشد، برای درک آن باید به یاد قاعده زنجیری برای مشتق‌های:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}},}$

افتاد، یا به عبارت دیگر

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\frac {dy}{dt}}{\frac {dx}{dt}}}.}$

که شکل رایج تر آن به صورت:

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}={\frac {dy}{dx}}\cdot {\frac {dx}{dt}}}$

می‌باشد و مشتق هر دو طرف با معادله بالا را نتیجه می‌دهد. ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}}$ و مشتق هر دو معادله نسیت به t:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=8t}$

و

${\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=3,}$

می‌شود که فرمول آن به صورت زیر می‌شود

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}={\frac {3}{8t}},}$

زمانی که ${\displaystyle {\dot {x}}}$ و ${\displaystyle {\dot {y}}}$ تابع فرض می‌شوند.

مشتق دوم یک معادله پارامتری به صورت زیر می‌باشد:

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$	${\displaystyle ={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)\cdot {\frac {dt}{dx}}}$
	${\displaystyle ={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}\right){\frac {1}{\dot {x}}}}$
	${\displaystyle ={\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{{\dot {x}}^{3}}}}$

جستارهای وابسته

• معادله پارامتری
• مشتق

منابع

• مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Parametric derivative». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای ، بازبینی‌شده در ۲۳۱۸ شهریور ۱۲۰۱۵۳۹۴.

در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ مشتق پارامتری موجود است.